Геометрическая теория дифракции

Геометрическая теория дифракции (ГТД) была предложена Келлером как обобщение результатов асимптотических разложений дифракционных интегралов. И хотя ГТД строится как асимптотическая теория, применяемая в тех случаях, когда характерный размер объекта a много больше длины волны λ, опыт расчетов по ГТД показывает, что она дает достоверные результаты вплоть до величин a порядка λ.

В ГТД наряду с отражением и преломлением, постулируются лучи, порождаемые лучами первичного поля, касающимися тела или попадающие на изломы поверхности тела (ребра, острия). Каждый луч первичного поля порождает бесконечное множество дифрагированных лучей.

При нормальном падении излучения на тонкую плоскую апертуру постулаты ГТД могут быть сформулированы следующим образом:

− угловые точки контура апертуры, порождающие дифракционные лучи во всех направлениях, являются источниками сферических волн;

− контур апертуры порождает краевую волну, угол раствора конуса ее лучей равен π/2. Для прямолинейного края волна является цилиндрической, а для криволинейного тороидальной.

Вторичными дифрагированными лучами обычно можно пренебречь, так как они возникают от лучей распространяющихся в плоскости апертуры, амплитуда которых мала.

Величина дифракционного поля в точке Q вычисляется как сумма дифракционных волн

s_n – эйконал вдоль n – го луча. Un(x,y,z) – комплексный амплитудный коэффициент, называемый также коэффициентом дифракции.

Таким образом, алгоритм решения дифракционной задачи по ГТД сводится к определению положения постулированных источников дифракционных волн и последующему сложению комплексных амплитуд этих волн в точке наблюдения. Фактически это означает, что дифракционная задача сводится к интерференционной и формула для интенсивности I(Q) = U(Q)⋅U∗(Q) совпадает с интерференционной формулой Юнга

(1.3)

Здесь Δm,n – разность фаз для волн источников m и n, обусловленная геометрической разностью хода; Δm,n = k(sm - sn); δm,n – начальный относительный фазовый сдвиг интерферирующих волн; k = 2π/λ. Амплитуды дифрагированных волн и относительные фазовые сдвиги в рамках ГТД не определяются; для их нахождения необходимо использовать данные, полученные из более общей теории.

Рассмотрим модель формирования ДК по ГТД. Для зоны дифракции Фраунгофера достаточно рассмотреть интерференцию дифракционных лучей, идущих в одном направлении (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема источников излучения для ГТД модели

Воспользуемся сферической системой координат. Зададим направление наблюдения вектором q(ϕ,θ). Координаты точек выхода лучей, дифрагированных в заданном направлении будем задавать радиус векторами. Угловые точки контура всегда являются точками выхода лучей. Для прямолинейных участков контура в ГТД как точек выхода лучей постулируется точка, соответствующая середине участка контура.

На криволинейных участках контура точки выхода лучей, оказываются “подвижными” – их положение зависит от направления наблюдения. Число точек выхода лучей, участвующих в формировании дифракционного поля в заданной точке, зависит от направления наблюдения.

Для дальней зоны задачу можно рассматривать как двумерную на плоскости с полярными координатами (ρ = ksinθ; ϕ), поскольку положение точек отрыва лучей, уходящих в заданном направлении, не зависит от θ. Таким образом, в модели ГТД мы приходим к задаче на плоскости. Такая постановка задачи делает ее более наглядной, позволяя ограничиться рассмотрением дифракционной задачи в плоскости апертуры. На плоскости модуль вектора q(ϕ,θ) равен sinθ.

Рассмотрим формирование поля на примере апертуры в виде прямоугольного сектора (рис. 4.5). Координаты точек выхода лучей определим векторами r₀, r₀₁, r₁, r₂, r_С1 r_С2.

Рис. 4.5. Схема источников излучения для прямоугольного сектора.

Найдем проекции векторов, задающих координаты точек выхода лучей, на направление наблюдения, представляющие собой скалярные произведения соответствующего вектора точки выхода луча и вектора q(ϕ,θ), т.е.

где R – радиус сектора.

В ГТД нас интересует сетка экстремумов поля дифракции, которая определяется разностями фаз интерферирующих волн Δ_m,n= k(s_m - s_n). Линии, вдоль которых разность фаз этих компонент постоянна, т. е. линий, где k(s_m - s_n) = const определяют структуру ДК.

Под термином «структура» будем понимать совокупность зон ДК, в каждой из которых дифракционное поле формируется взаимной интерференцией характерного набора дифракционных волн. Данный набор можно классифицировать по следующим признакам: типу дифрагированных волн (определяется согласно форме волнового фронта и уровню амплитуды) и количеству волн.

Зону ДК будем классифицировать по волне, имеющей наибольшую амплитуду в данной области.

Для удобства обозначения дифракционных волн и их совокупности введем следующие обозначения: − основную волну в данной зоне будем обозначать большой латинской буквой: C (Цилиндрическая волна), T (Тороидальная волна), S (Сферическая волна); − волну, амплитуда которой меньше основной, но сравнима с ней, будем обозначать малой латинской буквой: c, t, s; соответственно типу волны; − прочие волны, амплитуда которых много меньше основной, также будем обозначать малыми латинскими буквами c, t, s, заключая их в квадратные скобки [c],[t], [s]; − число волн с одинаковой амплитудой будем обозначать нижним индексом, например, C₂[s₄].

Так как каждая из дифрагированных волн порождается соответствующим участком контура апертуры, то информация о числе и типе образующих контур линий, а также наличии угловых точек, содержащаяся в шифрах зон ДК, позволяет определить общую структуру ДК: − прямолинейному краю длиной а, соответствует зона ДК в виде полосы шириной (по первому минимуму) 4πz/ka, где z – расстояние до плоскости наблюдения; − участку кривой соответствует зона ДК в виде двух противолежащих секторов, угол при вершине которых равен максимальному углу между нормалями к данному участку; − угловая точка оказывает влияние на всю плоскость ДК.

Асимптотическое рассмотрение дифракционного интеграла в приближении Френеля показывает, что дифракционное поле за экраном с отверстием может быть разделено на светлую область, в которой дифракционное поле сравнимо с падающим полем, переходную область и темную область.

Эти области ограничены параболами (рис. 4.6). Таким образом для плоской фигуры зоны неприменимости ГТД имеют вид полос, совпадающих с переходными зонами свет-тень краевых волн. В дальней зоне дифракции зоны неприменимости ГТД пересекаются в центре ДК, перекрывая зону прошедшего излучения – центральное пятно ДК. На формирование центрального пятна ДК оказывает влияние низкочастотные компоненты, а ГТД основана на высокочастотной асимптотике дифракционного поля. Согласно анализу низкочастотных компонент дифракционного поля форма центрального пятна ДК формально повторяет развернутый на 90° моментный эллипс плоской фигуры для соответствующей апертуры.

Рис. 4.6. Схема дифракции в зоне Френеля

Кроме центра ДК ГТД не применима и в других зонах. Зоны неприменимости ГТД имеют вид полос, ориентированных вдоль касательных к контуру апертуры в окрестности угловых точек. Данные зоны совпадают с зонами влияния цилиндрических волн.

Все вышесказанное позволяет сделать описание характерных зон ДК Фраунгофера в приближении ГТД. В центре - яркое пятно, имеющее форму моментного эллипса апертуры, повернутого на 90°. Прямолинейным участкам контура апертуры в ДК соответствуют относительно узкие яркие полосы, ориентированные нормально соответствующему участку. Криволинейным участкам соответствуют более темные зоны ДК, ориентированные в направлении оси сектора. Между данными зонами ДК поле формируется слабым излучением угловых точек, поэтому средняя интенсивность здесь самая низкая. Зоны действия различных дифракционных волн могут перекрываться, и из-за процесса интерференции распределение интенсивности не будет однородным, но принцип выделения характерных зон сохраняется.

Это можно проиллюстрировать на примере апертуры в форме прямоугольного сектора (рис. 4.7). Контур апертуры содержит два прямолинейных и один криволинейный участок - дугу окружности, и три угловые точки. Зона I область действия цилиндрических волн - две узкие полосы, лежащие вдоль осей координат. Зона II область действия тороидальной волны дуги в 1-й и 3-й четверти. Таким образом, 2-я и 4-я четверти – зона III, практически свободны от влияния краевых волн, и ДК здесь формируется только волнами угловых точек. Нулевая зона - область существования моментного эллипса.

Рис. 4.7. Зоны дифракционной картины. 0 – моментный эллипс; I – зона цилиндрических волн; II – зона тороидальных волн; III – зона волн точечных источников

Структура модуляции ДК, обусловленная взаимной интерференцией дифрагированных волн, достаточно сложна.