Средние величины в порядковой шкале

Рассмотрим обработку мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Из всех средних по Коши допустимыми средними в порядковой шкале являются только члены вариационного ряда (порядковые статистики).

Теорема 1 справедлива при условии, что среднее f(X₁, X₂,...,X_n) является непрерывной (по совокупности переменных) и симметрической функцией. Последнее означает, что при перестановке аргументов значение функции f(X₁, X₂,...,X_n) не меняется. Это условие является вполне естественным, ибо среднюю величину мы находим для совокупности (множества), а не для последовательности. Множество не меняется в зависимости от того, в какой последовательности мы перечисляем его элементы.

Согласно теореме 1 в качестве среднего для данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать, в частности, медиану (при нечетном объеме выборки). При четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану. Моду тоже можно использовать - она всегда является членом вариационного ряда. Но никогда нельзя рассчитывать среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.

Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X₁, X₂) = (X₁ + X₂)/2 в порядковой шкале. Пусть Y₁= 1, Y₂ = 11, Z₁= 6, Z₂= 8. Тогда f(Y₁, Y₂) = 6, что меньше, чем f(Z₁, Z₂) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких преобразований много. Например, можно положить g(x) = x при x, не превосходящих 8, и g(x) = 99(x-8)/3 + 8 для х, больших 8. Тогда f(g(Y₁), g(Y₂)) = 50, что больше, чем f(g(Z₁), g(Z₂)) = 7. Как видим, в результате допустимого, т.е. строго возрастающего преобразования шкалы упорядоченность средних величин изменилась.

Таким образом, ТИ выносит жесткий приговор среднему арифметическому - использовать его с порядковой шкале нельзя. Однако же те, кто не знает теории измерений, используют его. Всегда ли они ошибаются? Оказывается, можно в какой-то мере реабилитировать среднее арифметическое, если перейти к вероятностной постановке и к тому удовлетвориться результатами для больших объемов выборок. В монографии [2] получено также следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть Y₁, Y₂,...,Y_m - независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(x), а Z₁, Z₂,...,Z_n - независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения H(x), причем выборки Y₁, Y₂,...,Y_m и Z₁, Z₂,...,Z_n независимы между собой и МY₁ > MZ₁. Для того, чтобы вероятность события

стремилась к 1 при для любой строго возрастающей непрерывной функции g, удовлетворяющей условию

необходимо и достаточно, чтобы при всех x выполнялось неравенство F(x) < H(x), причем существовало число x₀, для которого F(x₀)<H(x₀).

Примечание. Условие с верхним пределом носит чисто внутриматематический характер. Фактически функция g - произвольное допустимое преобразование в порядковой шкале.

Согласно теореме 2 средним арифметическим можно пользоваться и в порядковой шкале, если сравниваются выборки из двух распределений, удовлетворяющих приведенному в теореме неравенству. Проще говоря, одна из функций распределения должна всегда лежать над другой. Функции распределения не могут пересекаться, им разрешается только касаться друг друга. Это условие выполнено, например, если функции распределения отличаются только сдвигом, т.е.

F(x) = H(x+b)

при некотором b. Последнее условие выполняется, если два значения некоторой величины измеряются с помощью одного и того же средства измерения, у которого распределение погрешностей не меняется при переходе от измерения одного значения рассматриваемой величины к измерению другого.