Системы счисления.

 

В современных компьютерных системах исходные данные обычно представляются в десятичной системе счисления. Однако десятичная система не может непосредственно использоваться, так как не существует надежных и быстродействующих технических устройств, которые могли бы фиксировать десять устойчивых состояний. Исходя из этого, в современных компьютерных системах применяются элементы, которые имеют два устойчивых состояния: включен – выключен, есть напряжение – нет напряжения, есть заряд – нет заряда и т.д. Очевидно, что эти два устойчивых состояния удобно описывать двоичной системой счисления, которая имеет всего две цифры (0 и 1) и которая является основной. В качестве вспомогательной системы счисления используется шестнадцатеричная система счисления.

Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил для изображения чисел.

Используемые в современных компьютерных системах десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы счисления являются позиционными системами, в которых значения отдельных цифр в числе (их вес) определяется их положением (разрядом).

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основным параметром – основанием (базисом) – Р.

Основанием (Р) любой позиционной системы счисления называется количество цифр, используемых для изображения чисел.

Так, в десятичной системе счисления основание (Р) равно десяти (Р=10), и, следовательно, в ней используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9.

В двоичной системе счисления основание равно двум (Р=2), и, следовательно, в ней используется всего две цифры: 0,1.

В шестнадцатеричной системе счисления основание равно шестнадцати (Р=16), и, следовательно, в ней используется шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Для удобства цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15 заменены латинскими буквами А, В, С, D, Е, F (А=10, В=11, С=12, D=13, Е=14, F=15).

Исходя из того, что количество используемых цифр в любой позиционной системе счисления определяется ее основанием (Р), соседние разряды в числе отличаются в Р раз. При этом применяется следующая нумерация разрядов дя целой и дробной частей любого числа:

- в целой части числа нумерация начинается с нулевого разряда и идет справа налево, т.е. 0, 1, 2, 3, 4 и т.д.;

- в дробной части числа нумерация начинается с -1 разряда и идет слева направо, т.е. –1, -2, -3, -4, и т.д. (см таблицу 1.3.1.).

 

Таблица 1.3.1.

Р а з р я д ы
				-1	-2	-3	-4
Р3	Р2	Р1	Р0	Р-1	Р-2	Р-3	Р-4

Пример 1. Десятичная система счисления (Р=10).

А₍₁₀₎ = 275,578₍₁₀₎ = 2*10² + 7*10¹ + 5*10⁰ + 5*10^-1 +3*10^-2 +8*10^-3

Пример 2. Двоичная система счисления (Р=2).

А₍₂₎ = 111,111₍₂₎ = 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3

Пример 3. Шестнадцатеричная система счисления (Р=16).

А₍₁₆₎ = 28С,35Е₍₁₆₎ = 2*16² + 8*16¹ + 12*16⁰ + 3*16^-1 + 5*16^-2 + 14*16^-3

 

Если произвести указанные математические операции, то можно получить десятичное представление взятых чисел.

Рассмотренные простые примеры показывают не только формы записи любого числа в произвольно выбранной системе счисления, но и дают простой способ для перевода чисел, выраженных в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную систему счисления.

Для перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления удобно использовать таблицу соотношение степеней основания 2 (см. таблицу 1.3.2.):

Таблица 1.3.2.

Степени двойки
Десятичные числа

 

Пример 4. Перевести десятичное число 640 в двоичную систему счисления

640₍₁₀₎=2⁹+2⁴+2³+2²=512+16+8+4

Следовательно: 640₍₁₀₎=1000011100₍₂₎

 

Рассмотрим теперь обратную задачу: перевод чисел, выраженных в десятичной системе счисления, в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления. Для этого удобно использовать следующую таблицу соответствия.

Таблица 1.31

Системы счисления	Системы счисления
Десятичная	Двоичная	Шестнадцатеричная	Десятичная	Двоичная	Шестнадцатеричная
					А
					В
					С
					D
					Е
					F

 

Используя таблицу 1.3.1 можно легко переводить числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему и обратно.

 

Пример 5. Перевести двоичное число 101.11₍₂₎ в шестнадцатеричную

систему счисления.

Запишем данное двоичное число следующим образом:

0101.1100

5 С

Следовательно 101.11₍₂₎ = 5.С₍₁₆₎