Прогнозирование на основе укрупнения, скользящих средних и экстраполирующих линейных функций

Методами обработки ряда динамики являются: укрупнение, сглаживание (механическое, по скользящей средней, по среднему абсолютному приросту, по среднему коэффициенту роста, аналитическое сглаживание), смыкание, интерполяция, экстраполяция и др.

Укрупнение – прием объединения нескольких уровней интервального ряда. Укрупнение уровней можно проводить путем суммирования/осреднения, то есть перехода, например, от ежемесячных данных к квартальным, от квартальных данных к полугодовым и т.д.. При этом следует учесть вид рядов динамики и решить вопрос о том, как получить новые уровни рядов: суммированием / осреднением их уровней.

Механическое сглаживание осуществляется на основе начального уровня и среднего абсолютного прироста.

Метод сглаживания по левой и правой половине производится путем нахождения среднего значения по левой половине, по правой половине и соединяют их между собой.

Сглаживание по скользящей средней в принципе возможно по трем, четырем, пяти и т.д. уровням исходного ряда, то есть по трех-, четырех-, пятичленной скользящей средней.

Выбор интервала сглаживания, с одной стороны, зависит от длины исходного ряда. При сглаживании по пятичленной (и более длинной) средней в исходном ряду динамики может не оказаться достаточного количества уровней. Необходимо, чтобы сглаживание ряда динамики не привело к вырождению исходного ряда в одну точку. Для расчета пятичленной скользящей средней их должно быть не меньше шести. Каждый уровень нового ряда должен соответствовать интервалу сглаживания и находиться в его центре. Таким образом, интервал сглаживания «скользит» по исходному ряду динамики.

С другой стороны, при большом количестве уровней исходного ряда динамики слишком узкий интервал сглаживания может оказаться недостаточным для выявления тенденции в исходном ряду динамики, а довольно широкий интервал сглаживания - привести к ее исчезновению.

Количество рассчитанных по скользящей средней уровней нового ряда будет меньше, чем в исходном ряду динамики. Так, сглаживание по трехчленной скользящей средней «укорачивает» исходный ряд динамики на два уровня, сглаживание по пятичленной скользящей средней – на четыре уровня и т.д.

При сглаживании по трехчленной скользящей средней значения двух исчезнувших крайних точек можно вычислить по эмпирическим формулам. Крайняя левая точка нового ряда определяется как:

 

У_-1= (5У₁+2У₂ -У₃)/6 (7.11)

 

Крайняя правая точка нового ряда рассчитывается по формуле:

 

У₊₁= (-У_n-2+2У_n-1 +5У_n)/6, (7.12)

где У_-1 и У₊₁- крайняя левая и крайняя правая точки нового ряда,

У₁, У₂,У₃,У_n-2, У_n-1, У_n – три первых и три последних уровня исходного ряда динамики.

Сглаживание по среднему абсолютному приросту и среднему коэффициенту роста проводится по формулам:

 

У_i( ) = У₁ + (i -1), (7.13)

У_{i (Кр)}= У₁ * К_р^i-1 . (7.14)

Аналитическое сглаживание производится на основе метода наименьших квадратов.

Для сглаживания ряда динамики с четным количеством уровней (точек) методом наименьших квадратов целесообразно построить вспомогательную таблицу, введя для каждого исходного периода условные обозначения t усл. так, чтобы их сумма была равна нулю. Ниже приведен пример для четырех точек исходного ряда

Для сглаживания ряда динамики по методу наименьших квадратов (МНК) целесообразно построить вспомогательную таблицу введя для каждого исходного периода условные обозначения t усл.

 

Таблица 3 – Аналитическое сглаживание (пример)

 

В таблице 3 сглаженные уровни У _сгл.i для каждого i-го периода получены на основе расчетов У _сгл.i = А + В * t _{усл i}. Коэффициенты регрессии А и В определяют из системы уравнений:

n*А + В å t _{усл i} = å У i (7.15)

A å t _{усл i} + B å t ² _{усл i} = å У _i t _{усл i}

 

Эта система при å t _усл. = 0 сводится к более простой

n*А = å Уi (7.16)

B å t² _{усл i} = å У _i t _{усл i}

В упрощенном случае при нечетном количестве точек (верхняя таблица) У _сгл.i = 16 + 8,8 * t _{усл i}.

Для наилучшего сглаживания можно подобрать функцию, для которой

å (У _сгл.i - У i)² = min. (7.17)

Смыкание – прием объединения двух рядов динамики – уровень ряда за период, когда произошли изменения в структуре изучаемого явления или другие радикальные изменения, принимается за базу (100%) относительно которой пересчитываются значения остальных уровней первого и второго ряда; затем строится ряд с пересчитанными к общей базе уровнями.

Метод экстраполяции применяется для нахождения неизвестных уровней ряда за его пределами. Экстраполяция используется в прогнозировании и основана на МНК. Для получения достоверного прогноза в исходном ряду динамики (при сглаживании по уравнению прямой) должно быть не менее 12 точек.

Интерполяция – нахождение неизвестного уровня ряда внутри него. При интерполяции пользуются методом средних величин. Неизвестный уровень ряда рассчитывают как среднюю арифметическую из рядом стоящих с ним уровней ряда. Данный метод прост, но менее точен. Более точным является МНК.

7.3 Прогнозирование на основе нелинейных экстраполирующих функций

Прогнозирование по среднему коэффициенту роста проводится по формуле:

У^пр _i = У_{n *} к _р, (7.18)

где У^пр _i – прогнозируемый i -й уровень ряда;

к _р – средний коэффициент роста ряда динамики.

 

Прогнозирование ряда динамики методом наименьших квадратов (МНК) или аналитическим методом проводят путем построения теоретической линии регрессии. Теоретическая линия регрессии строится на основе подбора аппроксимирующей функции, для которой достигается:

å (У _сгл.i - У _i) ² = min. (7.19)

Если теоретическая линия регрессии – гипербола вида У _i = А + В / t _i, то коэффициенты регрессии А и В определяют из системы уравнений:

n*А + В å (1/t _i) = å У _i (7.20)

A å(1/ t _i)+ B å(1/ t _i )² = å (У _i /t _i)_,

где n – число точек исходного ряда динамики.

В качестве аппроксимирующих функций для построения линий тренда зачастую используются:

парабола второго порядка У _i = А + В * t _i+ С * t _i² ,

парабола третьего порядка У _i = А + В * t _i+ С * t _i² + D * t _i^3,

показательная функция У _i = А * В ^t_.

Лекция 8 Статистический анализ эффективности функционирования предприятий и организаций разных форм собственности, качества продуктов и услуг

 

8.1 Понятие о промышленном предприятии и его структуре

8.2 Виды промышленной продукции и их статистический учет

8.3 Производительность труда как показатель эффективности функционирования предприятий

8.4 Эффективность использования основного капитала предприятия

8.5 Показатели оборачиваемости оборотного капитала предприятия

8.6 Издержки фирмы. Их виды и статистический анализ.

8.7 Прибыль предприятия

8.8 Рентабельность продукции и капитала

8.9 Статистический анализ качества продуктов и услуг