f(x) – многочлен, аппроскимирующий решение

Жабин Антон

Определить точку экстремума многочлена на отрезке [a;b]

 

Укрупненная схема алгоритмов для курсовой работы

 

Решение курсовой работы

 

1.Как показано на схеме алгоритмов для курсовой работы, мы начинаем решение курсовой с решения ДУ второго порядка

y``+9y=0

В условии задания даны точка, входящее в решение ДУ M(;-1)

и уравнение касательной, которой касается наше решение в точке М

y+1=x-

 

Решение ДУ начинается с определения начальных условий, которые мы можем определить из дополнительных условий задачи.

По точке М сразу можем найти первое начальное условие:

y()= -1

 

В этой же точке x= значение производной: y`()= -1

 

Получили начальные условия:

y()= -1

y`()= -1

 

Далее составляем систему ОДУ:

 

Используя функцию MathCad «Odesolve» мы можем найти решение в виду графика и таблицы значений функции y(x)

· Функция odesolve решает поставленную задачу методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом.

 

 

 

Получили график полученной функции y(x) и ее производной v(x).

 

 

 

Из графика заметно, что v(x) правда ведет себя как производная функции y(x),значит решение найдено верно.

 

Полученные значения функции и ее производной с шагом h

 

 

 

2.Далее, по алгоритму решения курсовой, необходимо найти,аппроксимирующую наше решение, функцию f(x):

 

У нас есть 21 точка по которым мы можем достаточно точно проаппроксимировать y(x), мы возьмем n точек и с помощью функции linfit сможем найти нужную нам f(x).

 

Но для начала нужно понять какой степени может быть f(x), линейной и квадратичной функцией f(x) врятли может быть, в силу количества перегибов функции y(x) и поведения ее производной.

 

Что бы выбрать наиболее подходящую степень функции f(x), мы методом перебора произведем аппроксимацию функции y(x) разной степени и выберем самую точную из полученных функций.

Погрешность будем определять критерием метода наименьших квадратов.

 

Аппроксимируем по известным нам n точкам, предполагая, что f(x)

3ей,4ей,5ой или 6ой степени:

 

 

 

 

 

В результате проведенных опытов мы выяснили, что функция f(x) более приближена к y(x) при аппроксимации 5ой и 6ой степени с погрешностью 0.359.

 

Для дальнейшего решения курсовой возьмём за f(x),полученную в результате опытов, функцию g2(x) 5ой степени.

 

3.Далее найдем

 

Несложно заметить, что δ и погрешности, найденные в процессе опытов, имеют одинаковые формулы, что говорит нам о том, что они идентичны, значит:

 

δ = pogresh2 = 0.359

 

4. Найти экстремумы функции f(x):

Для этого нам необходимы значения производной функции f(x)

 

 

 

 

 

Производная pro(x) меняет знак 3 раза, значит на промежутке [a;b] функция f(x) имеет 3 точки экстремума, для наглядности рассмотрим график f(x) и pro(x):

 

Как мы видим, pro(x) правда меняет свой знак три раза

приблизительно в точках:

x=3.2

x=4.1

x=5.4

Для нахождения экстремумов функции, зная приблизительно их абсциссы, воспользуемся функциями Maximize и Minimize, с помощью которых можно определить максимальное (минимальное) значение функции в окрестности заданной точки:

 

У точки z=x=4.1

 

 

У точки z=x=3.2

 

У точки z=x=5.4