Раздел 3. Теория погрешностей измерений

1. Что означает выражение - измерить физическую величину?

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с другой, однородной с ней, принятой за единицу меры. Результат измерения – число, показывающее количественное соотношение между измеряемой величиной и единицей меры

n = L / l_0, (8)

где l₀ – единица меры;

n – результат измерения;

L –измеряемая величина.

Таким образом, измерение – это процесс нахождения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

 

2. Какие бывают виды измерений?

Различают прямые (непосредственные) и косвенные (посредственные) измерения. При прямых измерениях значение измеряемой величины находят непосредственно из опытных данных. Примерами прямых измерений являются измерение длины линии рулеткой, угла – теодолитом, электрического напряжения – вольтметром, температуры – термометром и т.д. Прямые измерения являются основой более сложных измерений.

При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величины находится на основании известной зависимости этой величины и величинами из прямых измерений. В качестве примера приведем определение расстояния между точками А и С местности.

 

 

Рис. 5. Пример косвенных измерений

 

На рис.5 величины α, β, и b измерены непосредственно (прямо), а результаты этих измерений использованы для вычисления длины стороны АС по формуле (6).

В качестве примеров косвенных измерений можно привести определение плотности однородного тела по его массе и геометрическим размерам; нахождение удельного сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения; вычисления объема параллепипеда по результатам измерения его длины, ширины и высоты и т.д.

 

3. Что такое необходимые и избыточные измерения?

Если одна и та же величина измерена n раз, то одно из измерений является необходимым, а остальные n – 1 избыточными (добавочными).

Избыточные измерения производят с целью контроля правильности полученных результатов измерений. Кроме того, они позволяют определить более надежное значение искомой величины. При достаточно большом числе избыточных измерений можно судить о точности выполненных измерений.

 

4. Какие факторы оказывают влияние на точность измерений?

Из всей практики измерений установлено, что производя многократные измерения одной и той же величины, мы не получаем одинаковых результатов, как бы тщательно ни старались производить измерения. Этот факт указывает на то, что получаемые результаты не являются точными значениями измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Следовательно, результат измерения всегда содержит погрешность ∆

∆= l_i –X, (10)

где l_i – результат измерения;

X – истинное значение измеряемой величины.

Источниками погрешностей измерений являются все участники процесса измерения: измерительный прибор (инструментальные погрешности); наблюдатель (личные погрешности); внешняя среда, в которой выполняются измерения (внешние погрешности); методика измерений (погрешность, обусловленная несовершенством принятого метода измерения).

 

5. Какие измерения относят к равноточным, а какие к неравноточным?

К равноточным измерениям относят результаты, полученные приборами одинаковой точности, в одинаковых внешних условиях, наблюдателями одинаковой квалификации с применением одной и той же методики и т.д.

Если результаты измерений получены с отступлением от выше перечисленных требований, то такие измерения называют неравноточными.

 

6. Какие погрешности относят к грубым, систематическим и случайным?

Любая погрешность результата измерения есть следствие действия значительного числа факторов, каждый из которых порождает свою погрешность, которую называют элементарной. Таким образом, погрешность результата измерения является алгебраической суммой элементарных погрешностей.

По характеру действия различают погрешности: грубые, систематические и случайные.

Грубыми погрешностями (промахами) называют погрешности, превосходящие по своей абсолютной величине некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят чаще всего из – за невнимательности наблюдателя или неисправности измерительного прибора. Для исключения возможности появления грубых погрешностей все измерения должны выполняться с контролем.

Систематическая погрешность это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности чаще всего связаны с измерительными приборами.

Случайные погрешности представляют собой совокупность элементарных погрешностей, величины которых изменяются случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений. Случайные погрешности неизбежны и всегда сопровождают процесс измерения. Закономерности случайных погрешностей проявляются в своей массе и обусловлены всеми факторами. Их влияние на результат может быть ослаблено повышением качества и числа измерений, а также надлежащей математической обработкой результата измерения.

Таким образом, погрешность измерения ∆ является суммарной погрешностью, слагаемыми которой являются систематическая λ и случайная ε. Следовательно

∆ = λ + ε (11)

 

7. Приведите примеры проявления систематических погрешностей в результатах геодезических измерений?

Пример 1. При геометрическом нивелировании визирная ось зрительной трубы должна быть горизонтальной, а рейка отвесной.

 

 

 

Рис. 6. Влияние наклона рейки на погрешность в отсчете

 

Добиться вертикальности рейки, не имея дополнительных приспособлений, очень трудно. Поэтому при нивелировании рейка всегда наклонена на некоторый угол (положение 1 или положение 3), а значит отсчет по рейке всегда имеет систематическую погрешность λ = a₁ – a₂ или λ = a₃ – a₂. Её величина зависит от угла наклона рейки и от величины отсчета по рейке. В тех случаях, когда отсчет по рейке близок к нулю, погрешность минимальна и наоборот.

Исключить данную погрешность из отсчета по рейке можно несколькими способами.

Способ первый. Измерить угол наклона рейки, вычислить поправку и ввести в отсчет по рейке со знаком минус.

Второй путь. Установить на рейке уровень и тем самым с его помощью добиваться установки рейки в отвесное положение. Так поступают при высокоточном нивелировании.

Третий путь. Покачивать рейку из положения 1 в положение 3. Тогда при прохождении рейки через отвесное положение 2 отсчет по рейке будет минимальным, что хорошо фиксируется наблюдателем. Так поступают на практике при техническом нивелировании.

Пример 2. Рулеткой выполняли разбивку осей здания при температуре

-20^◦С. Вычислить погрешность измерения, связанную с температурой окружающей среды.

Известно, что при изменении температуры длина рулетки изменяется в зависимости от материала изготовления. Для стальной рулетки это изменение равно

λ = 1.25*10^-6*l₀ (t_i – t₀ ). (12)

Если t₀ =20^◦С, а l₀ =50,000м., то получим λ= - 25мм. Следовательно, если выполнено одно уложение мерного прибора, то погрешность составит 25мм. Погрешность носит систематический характер для данных условий измерений и исключить ее можно только введением поправки.

Приведем еще несколько примеров систематических погрешностей, встречающихся при измерении длин линий и при создании разбивочных геодезических сетей: погрешность из – за отклонения рулетки от створа измеряемой линии; из – за отклонения фактической длины рулетки от номинальной; погрешность редуцирования длины линии на горизонтальную плоскость, вызванная погрешностью измерения угла наклона или превышения; погрешность, связанная с неудовлетворительной подготовкой створа линии к измерению (в створе имеются отвалы земли или складированы конструкции).

8. Назовите свойства случайных погрешностей?

Случайные погрешности представляют собой совокупность элементарных погрешностей, величины которых не могут быть выявлены и учтены в виде поправок к измеренным величинам. Арифметическая средина (математическое ожидание) каждой элементарной случайной погрешности пренебрегаемо мало, то есть равно нулю. Примерами случайных погрешностей являются:

· погрешности отсчитывания по шкалам прибора;

· погрешности, вызываемые небольшими отклонениями расположения геометрических осей прибора от конструктивных;

· погрешности, вызываемые изменением параметров приборов из – за малых изменений внешних условий и т. д.

Несмотря на то, что случайные погрешности неизвестны ни по абсолютной величине, ни по направлению и поэтому не могут быть исключены из результата измерения, они подчиняются определенным закономерностям:

· свойство симметрии относительно нуля - положительные и отрицательные погрешности равновероятны;

· свойство компенсации – предел среднего арифметического из алгебраической суммы случайных погрешностей при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю, т.е.

lim∑ε / n→0 при n→∞;

· свойство плотности - малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются чаще, чем крупные;

· свойство рассеивания – для ряда случайных погрешностей, - полученных в результате равноточных измерений, сумма квадратов, деленная на их число, при неограниченном возрастании последнего стремится к некоторому пределу σ² , величина которого определяется условиями измерений, т.е.

lim∑ε² / n→ σ² = m² при n→∞,

где σ – стандарт (средняя квадратическая погрешность измерений);

· свойство ограниченности – случайная погрешность по абсолютной величине не может превзойти некоторого предела (предельная погрешность), зависящего от условий измерений;

Приведенные выше свойства случайных погрешностей основываются на гипотезе: погрешности подчиняются нормальному закону распределения и их математическое ожидание равно нулю (полностью отсутствуют систематические погрешности).

 

9. Что является качественной характеристикой измеренной величины?

Для оценки точности результатов измерений используют следующие критерии.

1. Средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле Гаусса

m = , (13)

где ε – случайные погрешности.

2. Средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле Бесселя

m = , (14)

где v – уклонения от арифметической средины.

3. Средняя погрешность υ – среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей

υ = [|ε|]/n. (15)

4. Вероятная погрешность r, которая является случайной погрешностью, больше или меньше которой по абсолютной величине погрешности равновозможны. Она находится в середине ряда погрешностей, если их абсолютные значения расположить по степени возрастания.

Из названных четырех критериев наибольшее распространение получили первые два.

Средняя квадратичекая погрешность обладает целым рядом положительных свойств по сравнению с другими:

является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом числе измерений;

наиболее полно характеризует качество измерений;

на ее величину существенное влияние оказывают большие по абсолютной величине погрешности, которые по существу и определяют точность измерений;

имеется возможность определить, с какой степенью доверия получается сама средняя квадратическая погрешность, по формуле

m_m = m/ 2n. (16)

 

10. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность при наличии эталонного значения измеряемой величины?

При исследовании точности измерения длин линий светодальномером СТ-5 «Блеск» был измерен базис 10 приемами. Длина базиса известна с высокой точностью и равна Χ=283,567м. Результаты измерений и вычислений приведены в табл.1.

 

Таблица 2. Результаты обработки исследований светодальномера СТ-5

№ изме рения	Результаты измерения, li,м	∆, мм	λ, мм	ε, мм	Вычисления
	293,562	-5	- 2,6	-2,4	1) ∑∆/n=-2,6мм
	293,568		- 2,6	3,6	λ = - 2,6 мм
	293,570		- 2,6	5,6	2) ∑ ε =0
	293,560	-7	- 2,6	-4,4	3) ∑ ε2 = 242,4
	293,555	-12	- 2,6	-9,4	4) m= ∑ ε2/n=4,9мм
	293,565	-2	- 2,6	0,6	5) m m = 1,1мм
	293,568		- 2,6	3,6	6) mпред = 3 m = 14,7мм
	293,572		- 2,6	7,6	7) mотн =1/60000
	293,561	-6	- 2,6	-3,4
	293,563	-4	- 2,6	-1,4

 

Порядок вычислений:

Находят разности между измеренным значением и истинным ∆_i=l_i –X;

Проверяют принадлежность ряда ∆_I к случайным погрешностям:

· число положительных – 4, число отрицательных – 6, первое свойство выполняется вполне удовлетворительно, так число измерений n =10;

· сумма ∆ не равна нулю, следовательно, ряд содержит систематическую погрешность λ.

· исключают систематическую погрешность ∆_I – λ, тем самым получают ряд случайных погрешностей;

· вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Гаусса;

· вычисляют предельную погрешность как утроенное значение средней квадратической;

· вычисляют погрешность самой погрешности m _m = m /√2n

· находят относительную среднюю квадратическую погрешность как m /Х. При этом в геодезии относительную погрешность всегда записывают в виде аликвотной дроби, т.е. 1/ Х: m. В знаменателе этой дроби оставляют столько значащих цифр, сколько их содержит m, а остальные заменяют нулями.

 

11. Как выполнить оценку точности результатов измерений, если эталонное значение измеряемой величины отсутствует?

Решение данной задачи можно показать на предыдущем примере, если

предположить, что точное значение измеряемой величины отсутствует.

 

Таблица 3. Результаты обработки исследований светодальномера СТ-5

№ изме рения	Результаты измерения, li,м	υ, мм	Вычисления
	293,562	-2,4	1) ∑ li / n=293,5644м
	293,568	3,6	2) ∑ υ2 = 242,4
	293,570	5,6	3) m= ∑ υ2/ (n-1)=5,2мм
	293,560	-4,4	4) m m = 1,2мм
	293,555	-9,4	5) mпред = 3 m = 15,6мм
	293,565	0,6	6) mотн =1/56000
	293,568	3,6	7)М lср =1,6мм
	293,572	7,6	lср=(293,564±0,005)м
	293,561	-3,4
	293,563	-1,4

 

Порядок вычислений:

· находят арифметическую середину из результатов измерений, как l_ср = ∑ l_i / n;

· вычисляют уклонения от арифметической середины υ = l_i - l_ср ;

· вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя m= ∑ υ²/ (n-1);

· определяют среднюю квадратическую погрешность самой погрешности по формуле m _m = m 2 n;

· находят предельную погрешность как m_пред =3 m;

· вычисляют относительную среднюю квадратическую погрешность m_отн = m / l_ср ;

· вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины М _lср = m /√ n;

· записывают окончательный результат как l_ср ±3 М _lср.

·

12. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность функции измеренных величин?

Средняя квадратическая погрешность функции z=f(x,y,….t) измеренных величин (косвенных измерений) равна

m_z² = m_x² + m_y² +…..+ m_t² (17)

Следовательно, для оценки точности функции измеренных величин, необходимо написать вид функции, найти частные производные и подставить их в (17).

Пример3. Вычислить горизонтальное проложение и его среднюю квадратическую погрешность, если длина линии, измеренная рулеткой равна D=100,00м, m_D =0,10 м, угол наклона линии равен ν=30º 00,0´, m_ν =1′. ρ´=3438´.

Функция имеет вид d= D Cos ν. Формула (17) для данной функции примет вид

m_d² = m_D² + m_ν²/ρ². (18)

Подставив сюда значения параметров, получим m_d=0,10м.

Примечание. При отыскании средних квадратических погрешностей функций, в которые входят тригонометрические функции, среднюю квадратическую погрешность угла необходимо разделить на значение числа градусов (минут, секунд) в радиане, в зависимости от размерности погрешности угла.

 

13. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность арифметической средины?

Арифметическая средина есть функция измеренных величин. Она имеет вид l_○=[ l_i ]/n или

l_○= l₁ / n+ l₂ / n + + l _n / n, (19)

а следовательно

M _l○ = m/√n. (20)

 

14. Можно ли на стадии проекта рассчитать число измерений, чтобы получить результат с заданной точностью?

Да можно. Из формулы (20) получим

n = m²/ M_l○² . (21)

Пример 4. Сколько приемов измерений горизонтального угла необходимо выполнить для получения его с точностью M _l○=10″ теодолитом 2Т30П?

Так как точность теодолита m=30″, то, подставляя в (21) исходные данные, получим n=9 приемов.

Однако следует помнить, что данные расчеты справедливы при отсутствии систематических погрешностей!

 

15. Что такое неравноточные измерения?

К неравноточным измерениям относятся результаты измерения одной и той же величины, выполненные приборами различной точности; различным числом приемов и т.д. То есть к неравноточным измерениям относятся те, результаты которых имеют разные средние квадратические погрешности.

 

16. Что такое вес результата измерения?

Для совместной обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие веса. Весом р называют величину, обратно пропорциональную квадрату средней квадратической погрешности

p_i =µ/m_i², (22)

где µ - const, коэффициент пропорциональности, постоянный для данной группы измерений.

m_i- средняя квадратическая погрешность i-го результата измерения.

Вес характеризует степень надежности результата измерения, степень доверия к результату измерения. Чем выше вес, тем выше к нему степень доверия по отношению к другим результатам того же ряда.

Пример5. В треугольнике измерены углы α, β и γ соответственно теодолитами Т30, Т5 и Т1. Сумма углов в треугольнике составила 180º00′55″. Определить веса измерений и какой из углов внес наибольший вклад в формирование невязки?

В соответствии с формулой (22) имеем P₁ =µ/900; P₂ =µ /25; P₃ =µ/1.Если принять значение µ=1″, то получим P₁=1/900; P₂ = 1/25; и P₃ =1. Наибольший вес имеет результат измерения угла теодолитом Т1, поэтому этому углу наибольшее доверие. Наименьший вес имеет результат измерения угла теодолитом Т30. Очевидно, этот результат имеет наибольшую погрешность, поэтому при распределении невязки угол α получит наибольшую поправку (обратно пропорционально весам).

 

17. Как вычислить арифметическую средину при неравноточных измерениях?

Пусть имеем результаты неравноточных измерений одной и той же величины l_1, l_2, l_3,………. l_n и их средние квадратические погрешности m_1, m_2,.. m_n. Вычислить среднее арифметическое из этого ряда измерений.

Для решения задачи сначала вычисляют веса

p₁ = µ/m _l1², p₂ = µ/m _l2², p₃ = µ/m _l3 ², …… p_n = µ/m_ln ², (23)

а затем находят значение общей арифметической средины по формуле

 

18. Как вычислить арифметическую средину при неравноточных измерениях?