Определение площади аналитическим способом

Если по результатам измерений на плане (карте) определены координаты вершин замкнутого многоугольника, то площадь последнего может быть определена аналитическим способом.

Пусть известны прямоугольные координаты вершин треугольника 1 – 2 – 3 (рис. 24). Опустив из его вершин перпендикуляры на ось 0У, площадь треугольника можно представить как алгебраическую сумму площадей трех трапеций: I – (1'— 1—2—2'); II – (2'-2-3-3') и III – (1'-1-3-3'), то есть

S = S₁ + S_II + S_III.

Площади рассматриваемых трапеций определяются так:

S_I = ½ (х₁ + х₂) (у₂ – у₁;)

S_II = ½ (х₂ + х₃) (у₃ – у₂);

S_III = ½ (х₁ + х₃) (у₃ – у₁.)

Тогда удвоенная искомая площадь треугольника 1-2-3 будет равна

2S = (х₁ + х₂) (у₂ – у₁) + (х₂ + х₃) (у₃ – у₂) - (х₁ + х₃) (у₃ – у₁),

отсюда

2S = х₁ (у₂ – у₃) + х₂ (у₃ – у₁) + х₃ (у₁ – у₂)

или

2S = у₁(х₃ - х₂) + у₂ (х₁ - х₃) + у₃ (х₂ - х₁)

.

В общем виде

.

или

 

Для контроля вычисления производят по обеим формулам.

Если координаты точек получены по результатам измерений на местности, то точность способа повышается, так как при этом на точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на местности. Так, при измерении углов с точностью 1' и длин линий с точностью 1:2000 относительная погрешность определения площади составит примерно 1: 1500.

 

Рис. 24. Определение площади аналитическим способом