Реферат 2 страница

Рис. 8

 

Поскольку меридианы в различных точках не параллельны и сходятся к полюсам, то их направления, выраженные полуденными линиями, тоже не будут параллельны. Этот угол между полуденными линиями называется в геодезии сближением меридианов γ. Оно может быть западным (в точке С) и восточным (в точке Д). В пределах зоны оно не может быть более 3˚. Условились считать, что γ_вост.+, γ_зап.-.В пределах координатной зоны линии, параллельные осевому меридиану, не совпадают с географическими меридианами, а образуют с ними некоторый угол, называемый гауссовым сближением меридианов. В восточной половине зоны линии, параллельные осевому меридиану, отклоняются к востоку от географического меридиана, сближение называется восточным и обозначается знаком «плюс». В западной половине зоны линии - отклоняются к западу от географического меридиана, сближение называется западным и обозначается знаком «минус».

γ=Δλ·sinφ φ=0˚ на экваторе

φ=90˚ на полюсе

В пределах 6˚-ой зоны γ_mах=3˚.

Румбом линии называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшего направления меридиана – северного или южного до направления линии местности. В зависимости от используемого меридиана румбы бывают истинные, магнитные и осевые. Они изменяются от 0˚ до 90˚ и имеют названия по сторонам света (четвертям): СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ. Прямой и обратный румбы в данной точке равны по величине, но противоположны по наименованию. Истинные и магнитные румбы отличаются, кроме того, на величину склонения и сближения меридианов, как и азимуты.

От азимутов и дирекционных углов можно переходить к румбам и обратно,

используя очевидные формулы (рис. 9):

СВ: r=α

ЮВ: r=180˚-α

ЮЗ: r=α-180˚

СЗ: r=360˚-α.

 

360º С 0º СВ

 

α

СЗ r

r

 

α 90º В

З

270º α

α

ЮЗ r r

ЮВ

180º

 

Рис. 9

4. Связь дирекционных углов и горизонтальных углов полигона

 

β₁'

1

 

β₁

2 β₂'

β₅ β ₂

β₅' 5

 

 

β₄ β ₃ 3 β₃'

 

β₄' 4

 

Рис. 10

 

Ломаная линия с закрепленными на местности точками излома и с измеренными длинами сторон и горизонтальными углами называется полигоном. Полигоны могут быть разомкнутые и замкнутые (на рис.10 замкнутый полигон). Точки полигона закрепляют временными знаками – деревянными кольями.

β₁, β₂…-внутренние углы – правые; β₁´, β₂´…- внешние углы – левые.

Зная дирекционный угол одной стороны полигона, можно всегда вычислить по горизонтальным углам дирекционные углы всех остальных сторон.

α_1-2 – дано, β₁, β₂…-измерены.

α_1-2

 

2 α_2-3

3 α_2-3

β₂

α_1-2 α_3-4

β₃

 

 

1

β₁ на т. 4

 

 

Рис. 11

 

Из рисунка 11 видно, что α_2-3= α_1-2 +180˚ - β₂

α_3-4= α_2-3 +180˚ - β₃

……………………

α_n= α_n-1 +180˚ - β_n - формула для правых углов.

Так как β_прав.=360˚-β´_лев., то для левых углов α_n= α_n-1 + β_n´-180˚.

5. Прямая и обратная геодезические задачи

 

Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки, дирекционному углу и расстоянию до другой определяют координаты последней. При вычислениях чаще всего дирекционные углы переводят в румбы. Прямая геодезическая задача решается и при вычислении координат вершин полигонов.

Дано: х₁; у₁ – координаты начальной точки; α_1-2; α_2-3; α_3-4; α_4-5; α_5-1 - дирекционные углы сторон полигона. d_1-2; d_2-3………………..d_5-1 - горизонтальные проложения сторон полигона. Найти: х₂ и у₂; х₃ и у₃…………..х₅ и у₅. Разница между координатами соседних точек называется приращением координат: х₂ – х₁=Δх₁; у₂ – у₁=Δу₁. Отсюда

х₂=х₁+Δх₁; у₂=у₁+Δу₁. Из треугольника следует (рис. 21): Δх₁=d_1-2∙cosr_1-2;

Δу₁= d_1-2∙sinr_1-2.

Из рисунка 22 следует: х₃=х₂+Δх₂; у₃=у₂+Δу₂;

Δх₂=d_2-3∙cosr_2-3; Δу₂= d_2-3∙ sinr_2-3. Перейдем к общему случаю: х_n=х_n-1+Δх_n;

у_n =у_n-1+Δу_n; Δх_n= d_n∙cosr_n; Δу_n= d_n sinr_n.

При вычислениях учитываются знаки приращений координат в зависимости от четверти, в которую направлена линия (см. выше). Если вместо румбов использовать дирекционные углы, то знаки перед приращениями координат получаются сами собой.

 

Х

2

 

3

 

1 Δх_1-2 1

х₂

 

 

х₁

Δу_1-2

4 у₂ У

5 у₁

 

Рис. 21

 

Х

 

2

 

Δх_2-3

3

х₃

Δу_2-3

х₂

У

у₂ у₃

 

 

Рис. 22

 

Координаты n – ой точки полигона можно выразить и через координаты первой точки.

х₂=х₁+Δх₁

х₃=х₂+Δх₂=х₁+ (Δх₁+ Δх₂)

х₄=х₃+Δх₃= х₁+ (Δх₁+ Δх₂+ Δх₃)

х₅=х₄+Δх₄= х₁+ (Δх₁+ Δх₂+ Δх₃+Δх₄)

……………………………………………

х_n= х₁+ и у_n=у₁+ ;

и - здесь суммы приращений координат. Отсюда запишем:

х_n - х₁=

у_n – у₁= .

В случае замкнутого полигона, когда, обойдя все вершины поочередно, мы возвращаемся в исходную, х_n - х₁=0 и у_n – у₁=0. Следовательно, для замкнутого полигона сумма приращений координат по обеим осям равна нулю.

_теор.=0 и _теор.=0.

Однако в связи с ошибками в угловых и линейных величинах эта сумма будет несколько отличаться от 0. Мы возвратимся не в точку 1, а в 1΄ (см. рис. 23).

Полученная разница в суммах приращений координат называется невязкой.

_изм.=f_х≠0 – невязка по х;

_изм.=f_у ≠0 – невязка по у.

Для оценки точности полигона вычисляют абсолютную невязку:

(1 - 1΄)=f_абс.= ,

а затем относительную ошибку:

f_отн.= ; Р – периметр.

 

 

Х 2

f_у

1

f_абс. f_х 3

1'

 

5 4

 

 

У

 

 

Рис. 23

 

 

Если условие неравенства выполняется, полученную невязку по осям координат распределяют в вычисленные приращения в виде поправок, с обратным невязке знаком, пропорционально значениям горизонтальных проложений: большую поправку в большее значение проложения.

Обратная геодезическая задача заключается в вычислении дирекционного угла и горизонтального проложения линии, по известным координатам ее начальной и конечной точек. Из предыдущих рисунков видно, что

d= ; tgr= ; r=arctgr; d= = .

Дирекционный угол находят по полученному румбу, учитывая четверть, в которую направлена прямая. Четверть определяется по знакам приращений координат:

1 четверть α=r; 2 четверть α=180° - r;

3 четверть α=r+180°; 4 четверть α=360° - r.

6.Топографические карты и планы

6.1. Понятие о плане, карте, профиле

План есть уменьшенное и подобное изображение на бумаге горизонтальной проекции сравнительно небольшого участка местности. Размеры участка до 25 км² – в этом случае не учитывается кривизна Земли. Степень уменьшения изображения сравнительно небольшая: 100, 200, 500…5000раз. Для удобства пользования на планах наносится координатная сетка. Планы могут быть: горизонтальными (контурными) высотными и контурно – высотными (топографическими).

координатная сетка километровая сетка

План М 1:1000 Карта М 1:10000

Рис. 12

Карта – уменьшенное и закономерно искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение на бумаге горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности. Степень уменьшения больше по сравнению с планом: 10000 раз, 50000…... Искажения происходят из–за невозможности развертывания сферических поверхностей (геоид, эллипсоид) в плоскость (бумага плоская) без разрывов и складок. На картах наносят градусные и километровые сетки. Все карты контурно – высотные (топографические).

Профиль местности есть линия пересечения земной поверхности с отвесной (вертикальной) плоскостью, расположенной в заданном направлении (PQ) (рис. 13). Его уменьшенное изображение на бумаге также называется профилем. Направление сечения может быть прямолинейным, ломаным или криволинейным.

 

 

Р

 

Q

 

Рис.13

 

По планам и картам можно решать ряд задач:

1. Определение расстояний между точками.

2. Определение прямоугольных и географических координат точек.

3. Определение абсолютных отметок точек.

4. Ориентирование линий местности.

5. Построение профилей по заданным направлениям.

6. Определение крутизны ската.

7. Определение водосборной площади и другие.

Порядок их решения смотри [4].

 

6.2.Масштабы

 

Степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при изображении их на плане или карте называется масштабом.

В геодезии различают масштабы: численный, именованный (словесный), линейный и поперечный. Численный масштаб есть отвлеченная дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – число, показывающее во сколько раз уменьшены горизонтальные проложения линий местности при изображении их на плане или карте (иначе – отношение горизонтального проложения линии на плане или карте к горизонтальному проложению той же линии на местности, см. рис. 14).

1:М=ав: АВ ав – горизонтальное проложение линии на плане

АВ – горизонтальное проложение линии на местности

1:М; 1:100; 1:2000; 1:10000……..1см:10000см

Именованный масштаб можно выразить словами: в 1см карты содержится 20 м местности (М 1:2000); в 1см – 100м (М 1:10000). Если горизонтальное проложение линии на местности обозначить S, на плане – d, то можно записать:

d = или S=d·M (пусть d=1,3 см; 1: М=1:1000).

Чем больше М, тем мельче масштаб, чем меньше М, тем масштаб крупнее.

1:50000 мельче 1:25000 вдвое и т.д.

 

 

План

М -?

А В

 

Рис. 14

 

Линейный масштаб строится графически. Он служит для ускорения работ по переходу от измерений на местности к измерениям на плане (карте) и обратно при большом объеме работ. Он строится путем откладывания равных отрезков, называемых основанием масштаба (нормальный масштаб имеет основание, а=2), вдоль прямой линии и оцифровкой правых концов отрезков, начиная со второго, в соответствии с численным масштабом. Для повышения точности измерений первое основание делят на мелкие части, на концах которого ставят нуль. Доли мелких делений оценивают на глаз. Линейный масштаб не отличается высокой точностью.

Поперечный масштаб является также графическим изображением численного масштаба, строится он на основе линейного масштаба, но отличается более высокой точностью. Для построения поперечного масштаба из концов оснований линейного масштаба восстанавливают перпендикуляры, на двух крайних из них откладывают n равных отрезков и через одноименные точки проводят прямые, параллельные линии линейного масштаба (рис.15). Первые нижнее и верхнее основания делят на m равных частей, нулевую точку нижнего основания соединяют с первой точкой верхнего основания, а через все остальные проводят линии, параллельные только что проведенной. Эти линии называются трансверсалями.

 

 

m делений (10) а' = 2 мм

А В

А'''	В'''
А"	В"
А'	В' а"

20 0 20 40

10 10 20

а=2см а = 2см а=2см

 

Рис. 15