Основная теорема гидростатики

Основная теорема гидростатики. Основная теорема гидростатики устанавливает то, что гидростатическое давление (р) в данной точке не зависит от его направления, т.е.:

, (3.3)

.где давления по направлению осей координат x,y,z и произвольному направлению i.

Рассмотрим некоторый элементарный объем жидкости (рис. 3.2.) при условии, что он находится в состоянии равновесия.

x

y

z

dF

dx

dy

Рис.3.2

В этом случае можно состояние равновесия выразить в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

и

и

и (3.4)

При уменьшении граней выделенного объема в пределе до нуля система действующих сил превратится в систему сил, проходящих через точку, а система уравнений моментов теряет смысл.

Проекции этих сил на оси x, y, z можно представить в виде:

, (3.5.)

Где угол между нормальным направлением силы и соответствующей осью координат, а углы между составляющей равнодействующих массовых сил и осями координат.

Учитывая, что

;

и .

Проводя подобные рассуждения, относительно проекций сил на другие оси координат, и осуществляя соответствующие преобразования, получим:

-

-

((3.6.)

Или, проведя соответствующие преобразования окончательно, получим:

(3.7).

 

Учитывая, что последняя составляющая в данной системе уравнений, представляет величину высшего порядка малости, можем записать:

(3.8.)

или

Что и требовалось доказать.

В данном случае было доказано равнозначность гидростатического давления в точке по любому направлению, однако не следует забывать, что давление является функцией координат и времени.