Показатели вариации, способы их вычисления

Средняя величина - это обобщающая характеристика варьирующего признака. Однако, характеризуя вариационный ряд в целом, средняя не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредняемого признака, т.е. средняя не характеризует колеблемость признака. Однако, именно колеблемость признака позволяет нам судить о равномерности того или иного процесса или явления или об однородности изучаемой совокупности.

Задача статистики заключается в том, чтобы дать числовое выражение колеблемости признака для более глубокого понимания сущности изучаемых явлений. Для этого в статистике рассчитываются следующие показатели вариации: размах вариации (R); среднее линейное отклонение (); дисперсия (σ²); среднее квадратическое отклонение (σ;). Кроме них, используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V).

Размах вариации R вычисляется по формуле: ,

где X_maх (Х_min) - самое большое (малое) значение, принимаемое единицей совокупности.

Чем больше R, тем менее однородна совокупность по своему составу, по изучаемому признаку и тем менее надежна средняя. Этот показатель является очень приблизительным, т.к. учитывает лишь значения крайних единиц совокупности. Поэтому его применяют редко, лишь в тех случаях, когда особые значения имеют либо наибольшее, либо наименьшее значения варианты.

Стремление составить показатель вариации, который учитывал бы все значения вариант, приводит к среднему линейному отклонению - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от их средней арифметической. Применяется в 2 формах:

- простой: , - взвешенной: .

Недостатком этого показателя является то, что он не учитывает знаки отклонений.

Чтобы усилить различия в величинах отклонений, эти отклонения возводятся в квадрат, тогда отклонения меньше 1 уменьшаются, а больше 1- увеличиваются, и вводят новый показатель вариации – дисперсия. Это средний квадрат отклонения вариант от их средней арифметической. Используется в 2 формах:

- простой: ;- взвешенной: /

Среднее квадратическое отклонение (σ;):

Так же, как и дисперсия, измеряет абсолютный размер колеблемости признака, но измеряется в тех же единицах, что и варианта. Это не позволяет нам сравнивать между собой различные совокупности. Для этого вводится коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

Принято считать, что если V > 40%, то это свидетельствуют о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. В этом случае среднее значение ненадежно, недостоверно и по нему нельзя судить о всей совокупности.

Дисперсия равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом его средней. , где , .

Эта формула очень часто позволяет упростить вычисление дисперсии и практически является основной расчетной формулой.

Вычисление дисперсии способом моментов.

Способ моментов применяется для упрощения расчетов в том случае, если варианты − большие числа. Первые четыре пункта такие же, как для вычисления средней арифметической способом моментов.

5) Вычисляем момент 2-го порядка: ,

6) Вычисляем дисперсию: .