ОСНОВЫ ПАРНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

ЛЕКЦИЯ №3

План

1. Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров

2. Интервальная оценка коэффициентов линейной регрессии

3. Прогнозирование с помощью регрессионных моделей

4. Коэффициент эластичности

 

1. Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров:

После того, как найдено уравнение регрессии, проводиться оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

1.1. О значимости уравнения линейной регрессии в целом можно судить на основании значимости коэффициента корреляции между переменными.

Для оценки статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции используется тест.

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между переменными X и Y, т.е. . Конкурирующая гипотеза – существует линейная связь между переменными. Проверка нулевой гипотезы состоит в сравнении фактического или наблюдаемого и критического или табличного значений критерия Стьюдента. Рассчитывается по формуле:

(3.1)

Здесь – стандартная ошибка коэффициента корреляции, – объем выборки. Полученное значение критерия сравнивается с критическим значением , определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы .

Если , то гипотеза отвергается на уровне значимости , т.е. считается, что коэффициент корреляции между переменными отличен от нуля и между переменными существует линейная связь. Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым.

Если , то мы не можем сделать вывод ни о наличии, ни об отсутствии связи между наблюдаемыми параметрами и . Необходимо повторить наблюдение на большем количестве наблюдений (данных) и перепроверить гипотезу .

1.2. Для оценки статистической значимости найденных МНК параметров уравнения регрессии и используется тест.

Выдвигается нулевая гипотеза о статистической незначимости, то есть случайной природе показателей. Фактические (наблюдаемые) значения находят по формулам:

(3.2)

Здесь – стандартные ошибки параметров уравнения регрессии и сравнивают с критическим значением , определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы .

Величину стандартных ошибок можно определить по формулам:

(3.3)

. (3.4)

где – стандартная ошибка. Если наблюдаемые значения и больше табличного значения , то гипотеза отклоняется, то есть параметры и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым.

Если , то мы не можем сделать вывод ни о наличии, ни об отсутствии связи между наблюдаемыми параметрами. Необходимо повторить наблюдение на большем количестве наблюдений (данных) и перепроверить гипотезу.

1.3. Оценка статистической значимости уравнения в целом проводится с помощью –критерия.

Общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на два слагаемых: «объясненную» (факторную) и «остаточную» («необъясненную») сумму квадратов:

(3.5)

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант.

Для общей сумы квадратов необходимо независимых отклонений, поскольку в совокупности из n единиц после расчета среднего уровня свободно варьируются лишь число отклонений. Например, ряд значений y: 1, 2, 3, 4, 5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят -2, -1, 0, 1, 2. Поскольку , то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое может быть определено, если четыре предыдущих известно.

Факторная сумма квадратов отклонений для парного линейного уравнения регрессии имеет число степеней свободы, равное 1, поскольку при заданном объеме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов зависит только от одной константы – коэффициента регрессии b.

Число степеней свободы остаточной суммы квадратов составляет . Таким образом, для степеней свободы имеем равенство:

(3.6)

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточные дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину критерия:

(3.10)

Величина критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить следующим образом:

, (3.11)

а остаточную суму квадратов:

(3.12)

На основе формул (3.8)-(3.11) можно записать:

(3.13)

При проверки статистической значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о случайности различий факторной и остаточной гипотезы. Для этого выполняется сравнение фактического и табличного значений критерия Фишера. определяется из специальной таблицы с помощью трех чисел: уровня значимости и степеней свободы и , .

Нулевая гипотеза отклоняется, если и признается статистическая значимость и надежность оцениваемых характеристик. Если , то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.