Кодирование и форматы представления числовых данныхВ компьютере используются следующие формы представления числовых данных: · числа с фиксированной запятой (точкой); · числа с плавающей запятой (точкой); Представление чисел в форме с фиксированной запятой (точкой) получило название естественной формы числа, представление с плавающей точкой – нормальной формы числа. Под те или иные форматы всегда отводится заранее известное количество разрядов (бит) - 16, 32, и т.д.
2.3.1.1. Представление чисел в формате с фиксированной точкой. При представлении числа Х в форме с фиксированной точкой указывается знак числа (sign X) и модуль числа (mod X) в q – ичном коде. Место точки (запятой) постоянно для всех чисел и в процессе решения задач не меняется. Знак положительного числа кодируется цифрой 0, знак отрицательного числа – цифрой 1. Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и q– ичного кода его модуля, называется прямым кодом q – ичного числа. Разряд прямого кода числа, в котором располагается q – ичный код модуля числа, называется знаковым разрядом кода. Разряды прямого кода числа, в которых располагаются q – ичный код модуля числа, называются цифровыми разрядами кода. При записи прямого кода знаковый разряд располагается левее старшего цифрового разряда и обычно отделяется от цифровых разрядов точкой. В общем случае разрядная сетка для размещения чисел в форме с фиксированной точкой выглядит так:
В формате с фиксированной точкой представляются целые числа, в формате с плавающей точкой - вещественные (целые и дробные). Пусть для целых чисел в памяти ЭВМ отводится 2 байта. Формат представления целых чисел выглядит следующим образом:
Пример 21. Разместитьцелое число Z1 = 28310 .в байтах памяти. Это число положительное, поэтому его знак кодируется как (0). Двоичный код этого числа Z1 = 1000110112 . Тогда это число в памяти ЭВМ будет расположено так:
Пример 22. Разместитьцелое число Z2 = – 2110 . Знак этого числа кодируется как (1), поскольку число отрицательное. Двоичный код этого числа Z2 = 101012 . Тогда это число в памяти ЭВМ будет расположено так:
2.3.1.2. Представление чисел в формате с плавающей точкой. В формате с плавающей точкой числа представляются в виде мантиссы и основания системы в соответствующей степени. Любое число в этом формате можно представить в виде:
где m – мантисса числа; q – основание системы счисления; p – порядок. Все эти величины – двоичные числа без знака. Для представления чисел в формате с плавающей точкой используются фиксированные форматы разной длины. В разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантисс (нулевой разряд). Знака порядка (первый разряд), значение порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-й), в остальные записывается мантисса числа. Далее представлена разрядная сетка в формате 4 байта.
Разряды (всего 32 разряда: с 0 – го по 31 – й)
Любое число в формате с плавающей точкой можно представить в различной форме записи.
Пример 23. Представить десятичное число Х = –55,25 = –5525*10 -2 = –0,5525*10 2, здесь мантисса m = –0,5525, а порядок p = 2. Обычно числа с плавающей точкой записываются в нормализованном виде т. е. в виде: Х = – 0,5525*10 2 . Тогда для числа Х: · знак мантиссы – отрицательный (–) – кодируется как (1); · знак порядка – положительный (+) – кодируется как (0); · мантисса m = 0,552510 = 0,1000112 ; · порядок p = 210 =102 ;
2.3.1.3. Выполнение арифметических операций с целыми числами, представленными машинными кодами. Для хранения чисел и выполнения различных операций над ними их представляют различными кодами: прямым, обратным и дополнительным. Основные отличия кодов чисел от самих чисел заключаются в следующем: · разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой; · для записи кода знака в разрядной сетке отводится постоянно строго определенный разряд. Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и двоичного кода его модуля, называется прямым кодом двоичного числа. Для его записи в разрядную сетку необходимо выполнить следующие операции: · записать двоичный код целого числа; · недостающие цифры старших разрядов двоичного кода заменить нулями с тем, чтобы все разряды разрядной сетки были заполнены; · в старший разряд (8 – й или 16 – й) записать код знака: 0 – для положительного числа и 1 – для отрицательного числа. Замечание: Обратный и дополнительный коды как правило применяются для кодирования отрицательных чисел. 2.3.1.3.1.Правила образования обратного и дополнительного двоичных машинных кодов. Рассмотрим правила образования двоичных машинных кодов: 1. Положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах выглядят одинаково. 2. Прямой код отрицательных и положительных чисел имеет различное значение только в знаковом разряде, модуль числа не изменяется. 3. Обратный код двоичного отрицательного числа получается из прямого кода путем замены единиц на нули и нулей на единицы, только код знака оставить без изменения. 4. Пример 24. Представить двоичное число
Здесь точкой отделяется знак числа (его код) от двоичного кода самого числа. Для простоты изложения рассматривается восьмиразрядная сетка. 4. Дополнительный код отрицательного числа получается формированием обратного кода отрицательного числа и прибавлением единицы к младшему разряду этого кода (перенос в знаковый разряд при этом теряется). Пример 25. Представить двоичное число
2.3.1.3.2. Арифметические действия над целыми числами, представленными в обратном или дополнительном машинном коде. При сложении чисел, представленных в естественной форме, необходимо учитывать следующие положения: · числа хранятся в памяти компьютера в дополнительном коде; · числа складываются вместе со знаками, при этом формируется знак результата; · при сложении чисел с разными знаками единица переноса из знакового разряда отбрасывается. Сложение чисел. При сложении чисел нужно использовать вышеприведённые правила сложения двоичных разрядов (2.9)
Пример 26. Сложить два числа 12610 и 26710. Проверить результат сложения, сделав обратное преобразование.
Проверка. А=0.0000001100010012=1*20+0*21+0*22+1*23+0*24+0*25+0*26+1* 27+1*28+....=39310 Вычитание чисел. Рассмотрим операцию вычитания, которая выполняется следующим образом: определяется дополнительный или обратный код вычитаемого числа и производится сложение этого кода с уменьшаемым числом. А – В = А + [– В]обр-доп Вычитание чисел, представленных в обратном коде. Если при выполнении операции сложения чисел формируется перенос из знакового разряда, при использовании обратного кода, он должен быть добавлен в младший разряд результата.
Пример 27. Даны два числа А = 12610 и В = 26710. Найти сумму этих чисел при разных знаках. Результат проверить.
В данном примере при сложении обратных кодов чисел возникает единица переполнения в старшем знаковом разряде, которую необходимо перенести и добавить к младшему разряду полученного результата сложения. В итоге получается двоичный код результата сложения в обратном коде, поскольку в знаковом разряде присутствует 1. Для получения окончательного результата в прямом коде необходимо инвертировать разряды предыдущего результата кроме знакового разряда. Инверсия означает обратное преобразование, т. е. 0 заменяется на 1, а 1 заменяется на 0.
Если в знаковом разряде полученного результата стоит 0, то это означает, что получен прямой код результата, и его не нужно дополнительно инвертировать, как в предыдущем случае. Проверка.
Вычитание чисел, представленных в дополнительном коде. Рассмотрим правила проведения сложения и вычитания чисел, представленных в дополнительных кодах на конкретном примере.
Пример 28. Даны два десятичных числа А = 2610 и В = 3410. Найти сумму этих чисел при разных знаках. Результат проверить. Вначале представим числа в двоичном коде:
В естественной форме в прямом и дополнительном кодах эти числа имеют следующий вид:
При использовании дополнительного кода единица переноса (переполнения) из знакового разряда не принимается во внимание, т.е. отбрасывается.
Проверка. Проверим правильность полученных результатов. Для этого переведем их в десятичную систему счисления. А + В = 0.0000000001111002 = = 0*20+0*21+1*22+1*23+1*24+1*25+0*26+...= 6010 –А – В = 1.0000000001111002 = = – (0*20+0*21+1*22+1*23+1*24+1*25+0*26+...)= – 6010 А – В = 1.0000000000100002 = – (0*20+0*21+0*22+0*23+1*24+.....) = – 810 – А + В = 0.0000000000100002 = 0*20+0*21+0*22+0*23+1*24+..... = 810 Проверка показывает правильность вычисленных сумм.
|
,
в формате с плавающей запятой и разместить в байтах памяти
в обратных кодах.
