Определение. Выражение называется главным значением логарифма
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) 4)
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
Производная функций комплексного переменного.
Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:
Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.
Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной. Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д. Производные гиперболических функций определяются по формулам:
Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.
Условия Коши – Римана. (Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)
Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную
Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:
1) 2)
В первом случае:
Во втором случае:
Тогда должны выполняться равенства:
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.
Теорема. Если функция имеет производную в точке z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.
Также справедлива и обратная теорема. На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.
Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексной переменной.
Пусть - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области. у
В L
А х
Кривая L задана уравнением
Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:
Если учесть, что , то
Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.
Интегральная формула Коши.
Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.
D
r z0
Тогда справедлива формула Коши:
где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).
Эта формула также называется интегралом Коши.
Ряды Тейлора и Лорана. (Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:
Ряд, определяющий функцию f1( x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.
Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.
Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0. В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре. В этом случае для любого контура L, содержащего точку z0 и принадлежащего к кругу .
2) Функция f(x) имеет вид: . В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом. Порядок полюса может быть определен по формуле: z0 – полюс порядка т. 3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k. В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку.
Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z0. Тогда интеграл называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0.
Вычет также обозначают иногда .
Если есть ряд Лорана функции f в точке z0, то . Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
Например, если функция , а имеет простой нуль при z = z0 , то z = z0 является простым полюсом функции f(z).
Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
Если z = z0 – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:
Пример. Найти вычет функции относительно точки z = 2.
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
Теорема о вычетах.
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Пример. Вычислить определенный интеграл .
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции Получаем
Пример. Вычислить определенный интеграл
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции Получаем
|