К заданию 1

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 26, а произведение -27.

Получим уравнение:

.

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:

 

1 0 9 -26 2

1

 

Уравнение примет вид: .

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Уравнение имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение .

 

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 56, а произведение -512.

Получим уравнение:

.

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:

 

1 0 24 -56 2

1

 

Уравнение примет вид: .

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Уравнение имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение .

 

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

 

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

 

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 98, а произведение -3375.

Получим уравнение:

 

 

.

 

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:

 

1 0 45 -98 2

1

Уравнение примет вид: .

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Уравнение имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -15, а произведение -216.

Получим уравнение: , ;

 

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 18 15

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант отрицателен:

.

Уравнение имеет один действительный корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 1, а произведение .

Получим уравнение: .

Последнее квадратное уравнение действительных корней не имеет. Поэтому, такой метод решения к данному кубическому трёхчленному уравнению не применим.