Перспективный масштаб. Дистанционная точка

 

Рассмотрим способы построения масштабов измерения длины отрезков, расположенных в трех главных направлениях предметного пространства. Главными направлениями будем считать направление прямых,

1) перпендикулярных картине – направление глубин;

2) параллельных основанию картины – направление широт;

3) перпендикулярных предметной плоскости – направление высот.

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной картине, называется масштабом глубин.

Введем в системе плоскостей K и T координатные оси X, Y и Z с началом в точке 0, на которых будем строить соответствующие масштабы высот, широт и глубин (рис. 73).

 

 

Рис. 73. Построение масштаба глубин

 

Отложим на оси X случайный отрезок [ M₀N₀ ]. Если необходимо отложить равный ему отрезок на оси Y поступим следующим образом.

Проведем через точки M₀ и N₀ вспомогательные прямые в предметной плоскости под углом 45° к оси X. Эти прямые называются линиями переноса. Отметим на оси Y точки A и B. Поскольку ось Y перпендикулярна картине, ее точка схода находится в точке P, а начальная точка находится
в начале координат. Перспектива оси Y на картине отобразилась отрезком [ 0P ].

Начальными точками линий переноса являются точки M₀ и N₀. Построим перспективу их общей несобственной точки. Для этого через точку S проведем в нее луч, который пересечет картину в точке D на линии горизонта. Соединив начальные точки с точкой D, получим перспективы линий переноса. На пересечении построенных перспектив определим точки A_K
и B_K.

Точка D называется дистанционной. Поясним, почему она носит такое название. Из построений, приведенных на рис. 73, следует подобие треугольников A0M₀ и SPD₁. Кроме того, оба треугольника – прямоугольные и равнобедренные, поэтому [ SP ] = [ PD₁ ]. Отрезок [ SP ] это дистанция между наблюдателем и картиной, и отрезком [ PD₁ ] она зафиксирована на линии горизонта на картине. На рисунке выше обозначены две дистанционные точки D₁ и D₂, которыми можно пользоваться при построении перспективных изображений.

Если требуется отложить равные отрезки на глубинной прямой (прямой, перпендикулярной K), следует поступать так, как показано на
рис. 74.

 

 

Рис. 74. Построение масштаба на глубинной прямой

Масштаб, построенный на прямой, параллельной основанию картины, называется масштабом широт. Построение масштаба широт показано на рис. 75. Для примера изображены перспективы прямых, находящихся на и вне предметной плоскости.

 

 

Рис. 75. Построение масштаба на прямой широт

 

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной предметной плоскости, называется масштабом высот (рис.76).

 

 

Рис. 76. Построение масштаба на прямой высот

Рассмотрим построение перспективного масштаба на прямой общего положения.

Пусть на предметной плоскости расположена прямая общего положения (рис. 77). Определим начальную точку прямой А₀ и ее точку схода F. На картине отрезок [ А₀F ] является перспективой этой прямой. От точки А₀ отложим натуральный масштаб (равные отрезки). Через построенные точки в предметной плоскости проведем линии переноса, отсекающие на данной прямой отрезки, равные построенным на линии t – t. Это начальные точки линий переноса. Точка схода этих линий – точка M. Соединив точки 1₀, 2₀ и 3₀ с точкой M, получим перспективные изображения линий переноса. Пересечение построенных линий с отрезком [ А₀F ] зафиксирует отрезки перспективного масштаба на прямой общего положения. Заметим, что на рисунке ниже треугольники A₀1₀1 ' и SFM подобны и равнобедренны по построению, поэтому отрезки [ SF ] и [ FM ] равны. Совместим треугольник SFM с плоскостью картины, вращая его вокруг линии горизонта. Тогда отрезок [ S₁P ] на картине будет равен отрезку [ SP ].

 

 

 

Рис. 77. Построение масштаба на прямой общего положения

 

При построении перспективы объекта может возникнуть необходимость построения перспективного масштаба на прямой общего положения от какой-либо конкретной точки, например, точки 0 (рис.78).

 

Пусть на картине дана прямая общего положения (изображенная отрезком [ А₀F ]), дистанционная точка D, главная точка P и точка 0 – начальная точка перспективного масштаба.

 

 

Рис. 78. Картина масштаба на прямой общего положения

 

В соответствии с рассуждениями, приведенными ранее, на рис. 78. определим точку S₁ и точку M. С помощью точки D найдем точку 0₀, от которой отложим масштабные отрезки на линии t – t (нижние точки на картине). Проведя линию переноса через точки М и 0, найдем начальную точку этой линии 0₀ (верхняя точкана линии t – t). От нее отложим отрезки, равные нижним. Соединив начальные точки линий переноса с точкой М, на данной прямой общего положения получим перспективный масштаб.

На рис. 79. построена перспективная сетка, с помощью которой можно определять координаты точек какого-либо объекта и его размеры.

Рассмотрим некоторые метрические и позиционные задачи, связанные с использованием перспективных масштабов.