Статистический момент сечения (С.М.С.). Центр тяжести площади

Геометрические характеристики плоских сечений

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материала и размеров, но и очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому в этой главе рассмотрим основные геометрические характеристики его поперечных сечений, определяющие сопротивление различным видам деформации. К ним относятся площади поперечных сечений, статистические моменты и моменты инерции.

Статистический момент сечения (С.М.С.). Центр тяжести площади

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Ox и Oy (рисунок 1). Выделим элемент площади dA с координатами x, y. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение и для момента сечения, которое называется статическим моментом.

называется статистическим моментом элемента сечения относительно оси Ox. Аналогично

статистический момент элемента сечения относительно оси Oy. Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статистические моменты относительно осей x и y:

Центр тяжести – это такая точка пересечения осей, относительно которой статистический момент системы равен нулю.

Пусть x_c, y_c – координаты центра тяжести (ц.т.) фигуры. Продолжая аналогично с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно записать следующие выражения:

где A – площадь сечения фигуры. Отсюда координаты центра тяжести

Из формул (1.2) следует, что статические моменты сечения относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести) равны нулю.

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь A_i и положение центра тяжести x_i и y_i. Статистический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статистических моментов каждой части:

По формулам (1.3) и (1.4) находим координаты центра тяжести сложной фигуры:

(1.5)