Понятие формул Колосова-Мусхелишвили. Метод сопряжения. Примеры

Алгоритм решения контактной задачи для двух цилиндров с малой областью контакта. Определение перемещений контактной задачи для двух цилиндров с малой областью контакта. Интегральные уравнения. Понятие о решении интегрального уравнения.

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости о распределении контактных напряжений при контакте двух упругих тел, когда область контакта несравнимая с размерами тела, т.е. малая.

Считаем, что под действием внешних усилий на поверхности контакта между телами возникает нормальное и касательное напряжения. Задача состоит в том, чтобы определить область контакта и распределение контактного давления.

Считаем, что в области контакта напряжения связаны соотношением: - формула Кулона – Амонтона. Т.к. ранее решалась контактная задача, то задача с трением сводиться к уравнению:

y

R_{1 P}

2a зона контакта

x

 

R₂ 2

 

Может быть плоская задача контакта:

1) плоское напряжение состояния;

2) плоская деформация.

Может быть плоская задача контакта:

1) когда контактируют 2 пластинки;

2) когда контактируют 2 цилиндра.

 

 

L

 

 

R1 и R2 радиусы цилиндров 1 и 2.

Данная задача (*) сводиться к определению давления , где f(x) – форма цилиндров. ;

где:

k—коэффициент трения.

Механизм построения интегрального уравнения.

Имеем y

 

R>>a

x

R

Отбрасываем второй цилиндр, а вместо него ставим какое-то давление.

Y

 

 

P(x)

 

0 x

-a a

E,

 

т.к. радиус больше, то полагаем это полуплоскостью. Нужно найти Рассмотрим y

 

 

Q

P

0 x

 

 

Интегрируем распределение силы (как в задаче Фломана). Тогда: . Функции - функции, выражающиеся через кривизну тел. Разложив их в ряд Лорана, имеем:

Берется проще: Решение уравнения (*) профессором Штайерманом было записано:

Т.о. получили давление при контакте двух цилиндров с трением.

 

P

p(x) должно быть <= [p(x)] – допускаемого

p(x) -? (находится из эксперимента)

 

 

P Подбираются , чтобы

Это уравнение дает напряжение на площадке контакта

Если имеем 2 цилиндра и учитываем условие равновесия (* со штрихом), то давление можно выразить через заданное суммарное усилие:

Область контакта определяется по следующей зависимости:

Частный случай:

Когда K>>R₂

R₂

O₂ R₁

 

 

(внутренний контакт) тогда область контакта определяется по зависимости:

( то же). Если (внешний контакта)

O₁ R₁

O₂

R₂

тогда область контакта:

Если ,то контакт с полуплоскостью:

O₁ R₁

2a

для этого случая имеем область контакта(для дороги):