Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Ответ:

Вычисляя на основании результатов наблюдений точечную оценку θ неизвестного генерального параметра θ, мы понимаем, что оценка θ является приближенным значением θ. Если для большого объема выборки точность приближения бывает достаточной, то для выборок малого объема вопрос о точности оценок очень важен. В математической статистике он решается следующим образом.

По выборке находится точечная оценка θ _n неизвестного θ. Затем задаются вероятностью P = 1 – α и по определенным правилам находят число ε > 0, чтобы выполнялось соотношение

Из приводимых соотношений видно, что абсолютная погрешность оценки θ _n не превосходит числа ε. Это утверждение верно с вероятностью P = 1 – α. Число ε называется точностью оценки θ.

Числа θ _n – ε, θ _n + ε называются доверительными границами, интервал (θ _n – ε, θ _n + ε) - доверительным интервалом.

Вероятность P = 1 – α называется доверительной вероятностью, или надежностью интервальной оценки. Величина α называется уровнем значимости. Доверительные границы могут изменяться при изменении объема выборки, кроме того, они могут изменяться при изменении вероятности P = 1 – α. При этом, чем шире интервал, тем точность оценивания хуже. Генеральная характеристика θ - постоянная величина.

На рисунке друг над другом изображены доверительные интервалы для параметра θ, построенные для разных выборок; центры интервалов - это выборочные значения оценки θ _n.

Надежность принято выбирать равной 0.95, 0.99, 0.999, соответственно уровень значимости α = 0.05, 0.01, 0.001. В приведенном соотношении доверительные границы симметричны относительно точечной оценки θ _n. Рассмотренные доверительные интервалы являются двусторонними. На практике не всегда доверительные интервалы являются симметричными, кроме того, не всегда являются двусторонними. В этом случае они называются односторонними.

Например, интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

В данном случае используется (как результат центральной предельной теоремы) следующая Z -формула

Так как выборочное среднее может быть больше или меньше, чем генеральный параметр, то предыдущее выражение берется в следующей форме:

Отсюда получаем доверительный интервал в виде

где α - уровень значимости, изображаемый площадью под кривой нормального распределения вне площади, соответствующей доверительной вероятности;

α/2 - площадь под кривой нормального распределения на правом и на левом хвостах распределения.

Уровень значимости используется, чтобы определить положение Z, значение которого определяется из таблицы функции Лапласа.

Если мы хотим определить 95 %-й доверительный интервал для μ, то это означает, что из ста интервалов, построенных по случайным выборкам, взятым из генеральной совокупности, 95 интервалов будут накрывать генеральный параметр, а 5 интервалов - нет.