Частотная передаточная функция и частотные характеристики динамического звена

 

Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена.

Если на вход звена подается , то на выходе в установив-шемся режиме будет

, (3.16)

где – амплитуда и сдвиг по фазе.

Воспользуемся символической записью синусоидальных колебаний в виде

(3.17)

Строго говоря, на основании формулы Эйлера

.

В линейной системе на основании принципа суперпозиции можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих. Поэтому для суждения о вынужденных синусоидальных комбинациях звена достаточно исследовать реакцию звена на сигнал .

Запишем .

Воспользуемся дифференциальным уравнением звена

. (3.18)

Определим производные:

, , .

Подставив эти величины в уравнение звена и сокращая на общий множитель , получим ,

откуда (3.19)

Это выражение называется частотной передаточной функцией или Амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) звена.

АФЧХ представляет собой функцию мнимого переменного, модуль которой равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:

, (3.20)

. (3.21)

В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье (частотных изображений) выходной и входной величин:

. (3.22)

 

Следовательно, частотная передаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой .

Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т.е.

.

Частотная передаточная функции может быть представлена в показательной или алгебраической форме

, (3.23)

где называют амплитудной частотной характеристикой звена (АЧХ),

называют фазовой частотной характеристикой звена (ФЧХ),

- вещественная и мнимая составляющие АФЧХ.

Для рассмотренного выше примера АЧХ находится как отношение модулей числителя и знаменателя.

.

ФЧХ находятся как разность аргументов числителя и знаменателя

 

.

Для нахождения вещественной и мнимой частей АФЧХ необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения знаменателя и числителя на комплексную функцию, сопряженную знаменателю, а затем выделив в выражении вещественную и мнимую части.

Графически АФЧХ изображается на комплексной плоскости в виде кривой (годографа) при изменении частоты от нуля до бесконечности. По оси абсцисс откладывается вещественная часть U() и по оси ординат – мнимая часть V() (построение в прямоугольных координатах). Можно строить АФЧХ в полярных координатах, откладывая для каждой частоты на комплексной плоскости аргумент и вектор АЧХ из начала координат (рис. 3.3).

Вместо АФЧХ можно построить отдельно АЧХ и ФЧХ. АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

 

Рис. 3.3. График АФЧХ на плоскости

Примечание: определение модуля и аргумента (фазы) АФЧХ

Рассмотрим действия с комплексными числами. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид , где ; сопряженное комплексное число имеет вид .

1. Комплексное число изображают на плоскости в виде точки М.

 

 

Положение точки М на плоскости можно определить в декартовых координатах через а и b, а в полярной системе координат углом наклона вектора , образованным вектором и положительным направлением оси х, и его длинной , , .

2. Комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

так как , , то .

3. В показательной форме комплексное число имеет вид (на основании

формулы Эйлера): .

Сложение, вычитание, умножение, деление производятся как действия с векторами.

4. .

5. ,

то есть , .

6. =

, то есть ; .

 

При определении модуля и аргумента произведения и частного от деления комплексных чисел удобно пользоваться представлением комплексных чисел в показательной форме:

, ,

тогда , , .

Приведенные правила определения модуля и аргумента справедливы и при построении АФЧХ – W(j ).

№15

1. Безынерционное (идеальное усилительное, пропорциональное) звено

 

В статике и динамике описывается алгебраическим уравнением:

.

Передаточная функция звена:

.

Примерами таких безынерционных звеньев могут служить жесткие механические и гидравлические передачи, электронный усилитель на низких частотах, делитель напряжения, датчики: потенциометрические, индукционные, гироскоп и др.

Переходная функция звена представляет собой ступенчатую функцию, т.е. при

.

Функция веса . АФЧХ вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии от начала координат. Модуль ЧПФ постоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю (). Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. Оно равномерно пропускает все частоты от 0 до .

№16