Критерий устойчивости Гурвица

Немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (4.6) составляют сначала главный определитель Гурвица

(4.8)

 

по следующему правилу: по главной диагонали определителя от верхнего левого угла выписывают по порядку все коэффициенты, начиная с и заканчивая . Затем каждый столбец определителя дополняют так, что бы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, вниз – уменьшались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут нуль.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка.

Критерий Гурвица формулируется так:

система автоматического управления устойчива, если при положительны все определителей Гурвица, получаемых из (4.8), т.е.

; , ; ; …,

. (4.9)

Это необходимое и достаточное условие устойчивости.

Предпоследнее неравенство в (4.9) есть , поэтому последнее неравенство сводится к .

Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определители Гурвица положительны. Условие распадается на два: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (нейтральная устойчивость) (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае – на колебательной границе устойчивости (два сопряженных мнимых корня).

Наконец, граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет, согласно уравнению (4.6) при . В самом деле, если все слагаемые в уравнении (4.6) разделить на , то получим

.

Отсюда видно, что при имеем , а значит .

Раскрывая определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка

, условия устойчивости , ; (4.10)

2) для уравнения второго порядка

,

условия устойчивости

, , , т.е. ; (4.11)

3) для уравнения третьего порядка

^,

, (4.12)

условия устойчивости , , , .

С учетом того, что и коэффициент . Из следует при положительности всех коэффициентов;

4) для уравнения четвертого порядка

,

, (4.13)

условия устойчивости

, , , ; (4.14)

; ;

Преобразуем

. (4.15)

Таким образом, для уравнений третьего и четвертого порядков, кроме положительности коэффициентов, необходимо соблюдение дополнительных неравенств (4.12) и (4.14).

Для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Для уравнений высоких порядков () в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива САУ. В случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменять параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

25. Принцип аргумента. Критерий Михайлова. Правило перемежаемости корней X(ω), Y(ω).

 

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости замкнутых САУ по виду их частотных характеристик без определения корней характеристического уравнения. Однако при этом необходимо знать, устойчива или нет условно разомкнутая САУ.

Частотные критерии позволяют определить устойчивость замкнутой САУ по экспериментально полученным частотным характеристикам звеньев и всей САУ. Частотные критерии имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность, позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка.

Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента.

Рис. 4.8. Комплексная плоскость корней

Рассмотрим характеристический полином (левую часть характеристического уравнения) замкнутой САУ

(4.16)

с положительными коэффициентами (необходимое условие устойчивости). Этот полином, в соответствии с теоремой Безу, представим в виде произведения сомножителей

,

где - корни характеристического уравнения .

На комплексной плоскости корней каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке (рис. 4.8, а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, равен аргументу или фазе комплексного числа.

Величины геометрически изображаются векторами, проведенными из точки к произвольной точке (рис. 4.8, б). В частном случае при получим вектор

. (4.17)

Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке (рис. 4.8, в).

Модуль вектора равен произведению модулей элементарных векторов и

,

аргумент равен сумме аргументов элементарных векторов

. (4.18)

Условимся считать вращение векторов против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении от до каждый элементарный вектор повернется на угол , если корень , расположен слева от мнимой оси, и на угол - , если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 4.9).

 

Рис. 4.9. Определение знака аргумента характеристического полинома

Предположим, что полином имеет правых корней и левых корней. Тогда при изменении от до приращение аргумента вектора , равное сумме углов поворота векторов , равно

. (4.19)

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до изменение аргумента вектора будет вдвое меньше

. (4.20)

В основу всех частотных критериев устойчивости положено условие (4.20).