Число действительных умножений при вычислении свертки двух N-точечных последовательностей

№	Прямой метод	Быстрая свертка	Прямой метод / Быстрая свертка
			0,14
			0,24
			0,40
			0,70
	16 384	13 312	1,23
	65 536	29 636	2,21
	262 144	65 536	4,00
	1 048 576	143 360	7,31
	4 194 404	311 296	13,47

 

Недостатком этого метода является значительные ошибки округления, большой объем памяти, необходимый для хранения комплексных экспоненциальных коэффициентов, и все ещё значительный объем вычислений.

19. Вычисление линейной свертки с секционированием.

 

Существует два метода с секционированием свертки: метод перекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.

Рассмотрим первый из них. Пусть более длинной, а в общем случае неограниченной является последовательность (рис. 1.32 б), а содержит отсчетов (рис. 1.32 а). Разделим последовательность на неперекрывающиеся секции по отсчетов (рис. 1.32 в, г). Выбор довольно сложен, но исходя из практического опыта, неплохие результаты получаются, если является величиной того же порядка, что и Тогда последовательность можно представить в виде суммы секций, т. е

(1.180)

где

Линейная свертка последовательностей и будет определяться следующим образом:

(1.181)

Меняя порядок суммирования и учитывая то, что последовательности и имеют конечную длину, получим

(1.182)

Отсюда следует, что в самом начале вычисляется k -я частичная линейная свертка последовательностей и Длина каждой из частич­ных сверток в данной сумме равна () отсчетам (рис. 1.32 д, е), т. е. имеется участок, состоящий из () = () отсчетов, на котором k -я и (k + 1)-я частичные свертки перекрываются, поэтому согласно выражения для соответствующие отсчеты на участке перекрытия необходимо сложить (рис. 1.32 ж). Отсюда и название данного метода: метод перекрытия с суммированием (промежуточные частичные свертки перекрываются и для получения конечного результата их необходимо сложить).

Другой метод вычисления линейной свертки последовательностей, одна из которых значительно длиннее другой, также основан на секционировании более длинной последовательности. Однако в данном случае перекрываются смежные исходные секции. Ошибочные отсчеты круговых сверток отдельных секций отбрасываются. Остальные отсчеты накапливаются и из них формируется конечный результат.

В этом методе неограниченная последовательность (рис. 1.33 б) де­лится на секции k = 0, 1, … длиной отсчетов с участками перекрытия длиной Последовательность (рис. 1.33 а) дополняется нулями до длины в N отсчетов

(1.183)

N 1 – 1

N 1 + N 2 – 1

N 1 + N 2 – 1

N 2

N 2

N 2

N 2

N 2

x 2(n)

е

ж

д

г

в

б

а

N 1

n

x 1(n)

 

Рис. 1.32. Вычисление свертки
методом перекрытия суммированием

После этого вычисляются секционированные круговые свертки содержащие () отсчет (рис. 1.33 д, е):

(1.184)

(1.185)

Следует отметить, что в этом случае

Представим последовательности и в виде сумм:

(1.186)

(1.187)

где и – последовательности на участках перекрытия длиной ().

Тогда частичные свертки и можно представить в виде

(1.188)

(1.189)

где и – не представляющие интереса свертки длиной (), обусловленные вкладом отсчетов и на участках перекрытия.

Поэтому при формировании суммарной свертки последние () отсчетов каждой секционированной свертки на участке перекрытия отбрасываются (они неверны из-за периодического характера свертки), а отсчеты присоединяются к правильным отсчетам последовательности (как бы накапливаются) (рис. 1.33 ж).

Рис. 1.33. Вычисление свертки
методом перекрытия с накоплением

Таким образом, используя метод перекрытия с суммированием или метод перекрытия с накоплением, можно достаточно легко найти свертку короткой и очень длинной последовательностей. При этом требуемый результат получается в виде отдельных небольших секций, которые должны объединяться в одну последовательность.

 

20. Амплитудный спектр, спектр мощности. Определение и алгоритмы получения.

 

Основу спектрального анализа, как известно, составляет преобразование Фурье. При этом, для детерминированных периодических сигналов в большинстве случаев ограничиваются амплитудным спектром:

(1.192)

где

(1.193)

(1.194)

– коэффициенты соответствующего ряда Фурье.

Рассмотрим следующее определение спектральной плотности мощности, которое широко использовалось на практике до появления алгоритмов быстрого преобразования Фурье:

(1.199)

где x (t,w,Δw) – процесс (сигнал) на выходе полосового фильтра с центральной частотой w и полосой пропускания Δw.

Запишем данное выражение в более привычном виде:

(1.200)

где В – ширина полосы пропускания узкополосного фильтра с центральной частотой f.

Выясним физический смысл выражения для Как известно, если имеется временная реализация некоторого сигнала х (t), то – это мгновенная мощность, а

(1.201)

– энергия, а величина

(1.202)

является средней мощностью сигнала.

Тогда выражение

(1.203)

определяет среднюю мощность сигнала на выходе полосового фильтра с центральной частотой f и полосой пропускания В.

Следовательно, спектральная плотность мощности – это мощность, приходящаяся на 1 Гц в окрестности частоты f , т. е.

при В → 0. (1.204)

Для получения оценки спектра мощности в некотором частотном диа­пазоне достаточно иметь или параллельный набор полосовых фильтров или же один полосовой фильтр с изменяемой центральной частотой. В первом случае получают спектр с постоянным относительным разрешением, во втором – с постоянным абсолютным разрешением.

Параллельный метод построения анализаторов спектра широко применяется и в настоящее время в спектральном анализе, звуковых измерениях и анализе шума.

Однако, в последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:

(1.205)

где

М – оператор статистического усреднения.

21. Оценка спектра мощности на основе периодограммы. Свойства периодограммы. Методы получения состоятельных периодограммных оценок.

 

В последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:

(1.205)

где

М – оператор статистического усреднения.

Из данного определения оценка спектральной плотности мощности может быть получена в следующем виде

(1.206)

где

Здесь – это односторонняя спектральная плотность, поэтому в приведенном выражении стоит цифра 2.

Основные свойства этой оценки (тут ошибка – см. в тетрадь(левого предела не должно быть)):

(1.207)

т. е. данная оценка является асимптотически несмещенной.

Дисперсия данной величины

(1.208)

Это значит, что асимптотически несмещенная оценка не является состоятельной. Другими словами, средняя квадратическая погрешность данной оценки равна 1 или 100 %.

Для получения эффективных оценок применяются методы сглаживания. В этом случае для получения правильных результатов при измерении необходимо перейти от вычисления точечной оценки к усреднению по множеству таких оценок. На практике в связи с этим возникают существенные трудности, обусловленные тем, что усреднять по множеству можно далеко не всегда. Как правило, экспериментатор располагает всего лишь одной или, в лучшем случае, двумя-тремя реализациями исследуемого процесса. Преодолеть возникшие трудности можно воспользовавшись некоторыми свойствами самой функции часто называемой периодограммой. Во-первых, она является случайной функцией частоты. При этом интервал корреляции по частоте составляет величину, примерно равную При случайные величины и с увеличением интервала Т становятся все менее коррелированными, т. е.

(1.209)

Это обстоятельство и лежит в основе получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности, т. е. путем сглаживания (усреднения) оценки по сравнительно небольшому интервалу частот может быть получена оценка с убывающей дисперсией, хотя и с некоторым смещением (рис. 1.36).

(1.210)

 

 

0 M f _i M f

Рис. 1.36. Иллюстрация сглаживания по частоте

Для этой же цели, кроме того, применяется и усреднение по коротким периодограммам. В этом случае исходная реализация исследуемого сигнала x(t) длительностью T делится на более короткие реализации x_i(t) длительностью По каждой реализации x_i(t) находится оценка спектральной плотности, а затем вычисляется их среднее арифметическое, что позволяет уменьшить дисперсию результирующей оценки в М раз (рис. 1.37).

 

 

Рис. 1.37. Иллюстрация сглаживания
по коротким реализациям

(1.211)

Измерение (оценка) спектра мощности (часто называемого энергетическим спектром) дает возможность, например, получать информацию о динамических характеристиках линейных физических систем с постоянными параметрами, позволяет исследовать соотношения между процессами на входе и выходе таких систем, обнаруживать скрытые периодичности и т. д.

В теоретических исследованиях принято чаще всего говорить об оценке спектра или спектральном оценивании.

в настоящее время в спектральном анализе используются оценки спектральной плотности мощности, основанные на прямом преобразовании исходных данных и последующем их усреднении. Этот метод, как уже отмечалось, чаще называют методом периодограммной оценки спектра мощности.

Для того, чтобы по отсчетам обрабатываемого сигнала можно было бы получить спектральные оценки в соответствующих единицах энергии или мощности, необходимо выражение для прямого ДПФ умножить, а для обратного ДПФ разделить на интервал дискретизации D t:

(1.212)

(1.213)

где – интервал наблюдения (длительность обрабатываемой реализации).

В этом случае оценка спектральной плотности мощности будет определяться следующим образом:

(1.214)

где

Эта оценка называется выборочным спектром, периодограммой Шустера или просто периодограммой.

Данная оценка также не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности (СПМ), так как дисперсия этой величины не стремится к нулю ни при каком сколь угодно большом значении N. Вследствие этого для получения состоятельных оценок требуется выполнение операции статистического усреднения. В этом случае будем иметь

(1.215)

Для расчетов используется выражение

(1.216)

которое называют исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ.

Для сглаживания периодограммной оценки используются три основных метода: метод Даньелла (Даниелла), Бартлетта и Уэлча. В методе Даньелла осуществляется усреднение оценок, полученных по соседним частотам (усреднение по смежным частотам), Бартлетта – по ансамблю (по коротким временным последовательностям), а в методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся реализациям для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.

Практическое использование этих трех процедур подтверждает их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.

Периодограмма Даньелла. Для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра в этом случае используется усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра на сетке частот используется алгоритм БПФ, то сглаженная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения М значений с каждой стороны этой частоты:

(1.217)

Вычисление оценки по Даньеллу рекомендуется для случаев, когда анализируемое множество данных состоит из малого (100–500) или среднего (500–4000) числа выборок.

Периодограмма Бартлетта. При этом подходе последовательность входных данных х (п)из N отсчетов делится на K неперекрывающихся сегментов по М отсчетов в каждом, так что (рис. 1.38).

Тогда i -ый сегмент будет определяться таким образом:

(2.218)

Затем на каждом из этих сегментов независимо вычисляется выборочный спектр:

(2.219)

Далее на каждой частоте, представляющей интерес, K отдельных немодифицированных периодограмм усредняются с тем, чтобы получить усредненную периодограмму Бартлетта.

(2.220)

x (n)

 

 

... ...

Рис. 1.38. К иллюстрации периодограммы Бартлетта

 

Дисперсия рассмотренной оценки уменьшается с увеличением числа K, а величина смещения – увеличивается, так как при фиксированной выборке N с увеличением числа сегментов число выборок М в каждом из них уменьшается. Это приводит к ухудшению разрешающей способности спектрального анализа, так что приходиться находить компромиссное решение между значениями N и М.

Данная оценка применяется при N > 2000.

Периодограмма Уэлча. Уэлч модифицировал основную схему Бартлетта за счет использования перекрывающихся сегментов (рис. 1.39). Цель перекрытия– увеличить число усредняемых оценок спектральной плотности мощности при заданной длительности исходной реализации и тем самым уменьшить дисперсию результирующей оценки.

На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру для реализации данного метода, что и сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания.

Если выборка из N отсчетов разбита на К сегментов по М отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами то максимальное число сегментов К будет определяться целой частью числа (N – M)/(S + 1).

Например, 50 %-е перекрытие сегментов во многих случаях обеспечивает весьма эффективную реализацию данного метода на основе алгоритмов БПФ. Кроме того, в этом случае все данные используются дважды, за исключением М /2 отсчетов на каждом конце исходной N -точечной последовательности данных. Следует отметить, что на практике часто используется перекрытие до 70 %.

 

Рис. 1.39. Формирование периодограммы Уэлча

 

Также как и дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодограммы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегментов в предположении независимости сегментов (хотя перекрытие сегментов приводит к некоторой их взаимозависимости). Благодаря перекрытию по заданной выборке исходных данных можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, что уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.

22. Основные проблемы цифрового спектрального анализа. Взвешивание. Свойства весовых функций. Модифицированные периодограммные оценки СПМ.