Одномерными

Хотя время t в переменных Эйлера и Лагранжа одно и тоже, но производные по t в этих переменных в общем случае отличны между собой.

Покажем это.

Рассмотрим поле температуры, например.

Распределение температур логично задать как с точки зрения Лагранжа

,

так и с точки зрения Эйлера

.

Если распределение Т задано с точки зрения Лагранжа, то подсчитать изменение температуры в единицу времени t в частице сплошной среды очень просто

.

Как вычислить туже величину, если распределение температуры задано в переменных Эйлера?

Очевидно, что для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа.

.

Затем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда:

.

или с учетом выражений (3.4)

. (3.6)

Производная характеризует изменение температуры со временем в данной частице сплошной среды и называется индивидуальной или субстанциональной (в математике – полной) производной температуры Т по времени t.

Она часто обозначается символом .

Производная характеризует изменение температуры Т в единицу времени в данной точке пространства x.

Она называется местной или локальной производной и обозначается .

В общем случае индивидуальная производная отличается от местной на величину, зависящую от движения частицы и называемую конвективной производной.

Конвективная производная характеризует неоднородность поля рассматриваемой величины в данный момент времени.

Итак

. (3.7)

При исследовании движения среды важным является понятие линии тока.

Линией тока называется такая кривая, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с вектором скорости в данный момент времени (см. рис. 3.1 а).

Для установившегося движения линии тока не меняют своей формы с течением времени и представляют собой траектории движения частиц.

Поэтому все соотношения между параметрами потока, записанные для частицы среды, будут справедливы и вдоль линии тока.

Если в движущейся среде взять элементарный замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется поверхность, называемая трубкой тока (см. рис. 3.1 б).

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой.

Заметим, что массообмена между струйкой и окружающей средой не происходит, поскольку в любой точке боковой поверхности струйки вектор скорости направлен по касательной, поэтому частицы среды не проникают внутрь трубки тока и не выходят из нее.

 

Пример:

Записать выражения для определения проекций ускорения жидкой частицы в переменных Эйлера. Поле параметров а) трехмерное, б) двухмерное, в) одномерное, движение – неустановившееся.

Решение:

а) Для определения проекций ускорения жидкой частицы в переменных Эйлера следует учесть, что , являются функциями , где в свою очередь при движении частиц жидкости зависят от t. Используя правило дифференцирования сложной функции будем иметь

,

,

.

б) Движение жидкости называется двумерным, если параметры потока являются функциями двух координат. Примерами такого движения являются плоскопараллельное (или плоское) и осесимметричное движение. Плоским движение называется, если все частицы, находящиеся на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной фиксированной плоскости, движутся одинаково параллельно этой плоскости. При плоском неустановившемся потоке жидкости будем иметь

,

,

Если пространственное движение жидкости симметрично относительно некоторой оси, например, Ох, то такое движение называется осесимметричным.

Осесимметричными течениями являются движения жидкости в соплах и диффузорах круглого сечения, осевое обтекание тел вращения и т.п.

в) Если жидкость движется так, что проекции скорости являются только функциями только одной координаты и времени, то такое движение называется одномерным неустановившимся. В частности при движении вдоль оси х будем иметь

.

 

 

Вопрос 4. Уравнения гидромеханики в интегральной и дифференциальной форме.