Определение и примеры гладких многообразий

(лечение согласно соответствующих протоколов)

Дифтерийная кардиопатия, миокардит, токсическая полинейропатия, метаболическая энцефалопатия, отек головного мозга, токсический нефрозонефрит, иммунокомплексный нефрит, острая почечная недостаточность, ИТШ, ДВС-синдром, сердечно-сосудистая недостаточность, дыхательная недостаточность, полиорганнная недостаточность.

Неспецифические осложнения: паратонзиллярный абсцесс, отит, пневмония.

Определение и примеры гладких многообразий.

Широкими классами примеров гладких многообразий являются линии и поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве. Эти объекты классической дифференциальной геометрии послужили основной мотивацией для введения абстрактного определения гладкого многообразия. Более точным языком, они являются одномерными (линии) и двумерными (поверхности) вложенными подмногообразиями евклидова пространства .

 

Основная идея – построить такие многомерные объекты, которые локально допускают координатное описание (т.е. локально евклидовы). Перейдем к формальному определению.

Будем предполагать далее, что - хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой.

Определение 1. Локальной картой на называется пара , где - открытое подмножество в , - гомеоморфизм. В этом случае имеем:

существует единственный набор , который называется локальными координатами точки относительно локальной карты .

Определение 2. Пусть и - локальные карты на . Они называются согласованными (гладко склеенными), если:

- либо Æ;

- либо, если Æ, то отображения

являются гладкими.

Гладкость указанных отображений понимается в следующем смысле:

.

Определение 3. Атласом на называется набор локальных карт , обладающий свойствами:

1. 
2. согласованы.

 

Если - атлас на , то по нему можно построить - максимальный атлас:

{все локальные карты, согласованные с }.

 

Определение 4. Гладкой структурой на называется задание максимального атласа на топологическом пространстве .

Определение 5. Гладким многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, на котором задана гладкая структура . Размерностью называется , которое фигурирует в определении локальных карт: .

Замечание 1. Фактически задание гладкой структуры определяется заданием некоторого атласа (не обязательно максимального). Именно так задаются гладкие структуры в конкретных примерах.

Замечание 2. Эквивалентный подход построения гладкой структуры основан на понятии эквивалентных атласов, а именно: , если все их локальные карты согласованы. Тогда класс эквивалентности - гладкая структура на M.

 

Определение 6. Пусть - гладкое многообразие, - соответствующий атлас. Пусть подмножество открыто в . Тогда является гладким многообразием той же размерности и называется открытым подмногообразием в .

Действительно, атлас на V строится естественным образом:

Упражнение: Показать, что - атлас на топологическом пространстве .

Примеры:

1. (все действительные числа с естественной топологией). Тогда - локальная (глобальная) карта, . Следовательно, на существует (тривиальная) гладкая структура, а поэтому - гладкое многообразие размерности 1.

Другой способ: , где .

Нетрудно видеть, что указанные (глобальные) карты не согласованы, т.е. определяют на R разные гладкие структуры.

2. - открытое подмногообразие в и в .

Вопрос: При каких гладкие структуры на , определяемые двумя вышеуказанными атласами, совпадают?

 

3. - глобальная карта, следовательно, - гладкое (тривиальное) многообразие размерности .

Упражнение: Указать другие гладкие структуры на .

4. - множество действительных прямоугольных матриц фиксированного размера . Установим естественное соответствие:

.

Таким образом, - гладкое (тривиальное) многообразие размерности .

 

5.

Нетрудно показать, что - открытое подмножество в .

Рассмотрим отображение , которое является непрерывным.

Тогда подмножество вырожденных матриц – замкнутое подмножество в .

Совершенно ясно теперь, что состоит из двух связных компонент. Следовательно, - открытое подмножество в . В соответствии с определением 6 оно автоматически является открытым подмногообразием в . Следовательно, - гладкое многообразие размерности (тривиальное).

 

6. Рассмотрим включение . Можно показать, что

- связное гладкое многообразие размерности .

7. - сфера с индуцированной из топологией.

Обозначим через N «северный» полюс сферы, а через S – ее «южный» полюс. Построим следующий атлас на :

, где и .

Заметим, что - открытые подмножества в (показать!).

- стереографическая проекция из точки на плоскость Отображение является гомеоморфизмом, а потому - локальная карта на .

 

Аналогично, пара , где - стереографическая проекция из точки , также является локальной картой на .

Докажем согласованность построенных локальных карт:

Возьмем точки и , вектор и проведем прямую

Координаты точки

(3)

Можно показать, что

(4)

- гладкая

- гладкая

Вычислим

(5)

Аналогично,

(6)

Аналогично (проверить)

Таким образом, - атлас на , а потому - гладкое (компактное) многообразие размерности 2.

Упражнение * 1. Доказать, что на можно построить атлас следующего вида:

Упражнение * 2. Доказать, что атласы и задают одну и ту же гладкую структуру на .

8. Любая двумерная поверхность в является двумерным гладким многообразием. Действительно, пусть - поверхность, - ее локальная параметризация - локальная карта на M.

Любые локальные карты согласованы (теорема об эквивалентности локальных параметризаций).