МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утвержде­ния есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся:

1. Прием преобразования условия суждения (синтетический).

2. Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся:

1. Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения).

2. Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относятся:

1. Метод геометрических преобразований. Э тот метод в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Состоит он из выполнения последовательности шагов: выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).

3. Векторный метод,использующий аппарат векторной алгебры.

4. Координатный метод, Координатный метод - это способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системы координат ли какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем).

Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотива­ция изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в тео­реме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоми­нание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказа­тельства; доказательство теоремы; применение теоремы; уста­новление связей теоремы с ранее изученными теоремами.