Определенный интеграл

Пусть функция разделена на отрезке от до на элементарных частей точками ; выберем на каждом отрезке от до произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке от до называется сумма вида

Определенным интегралом от функции на отрезке от до называется предел интегральной суммы при условии, что длина элементарного отрезка стремиться к нулю; при этом используется запись .

Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования. Таким образом

Для любой функции , непрерывной на от до , всегда существует определенный интеграл .

Основными свойствами определенного интеграла являются:

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
3. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла на противоположный: =
4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл, служит формула Ньютона - Лейбница

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются при вычислении определенного интеграла.

Пример 1. Вычислить интеграл

Используя таблицу интегралов и формулу Ньютона – Лейбница получим:

= =

Пример 2. Вычислить интеграл

= = = 3 = =

Пример 3. Вычислить интеграл

= = = + = + =

= + = 2 + = + = 14 + 2 = 16.