Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим в ней угла другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано: АВ = ;ÐА = Ð ;ÐB=ÐB1; Док-ть: ∆АВС = ∆ Док-во: Наложим ∆АВС на ∆ т.к. вершина А сов. с А1, сторона АВ с С и С1 оказались по одну сторону от прямой 1) Т.к. ÐА = Ð и ÐB=ÐB1 => то АС наложится на луч , а сторона ВС на луч 2) 2) Вершина С-общ. точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луч и след-но сов-стя с общ. точкой этих лучей- вершиной С. 3) 3) Значит совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. 4) ∆АВС = ∆

 

Признак 3

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС, ∆ АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1. Док-ть: ∆АВС = ∆А1В1С1. Док-во: 1) Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы отрезки АС и А1С1 совпали и вершины В и В1 оказались бы по разные стороны от прямой АС. 2) Рассмотрим ∆А1В1В: АВ = А1В1(по усл.) =>∆А1В1В –равнобедренный, то Ð1=Ð2 3) Рассмотрим ∆В1С1В: ВС = В1С1(по усл.) => ∆ В1С1В – равнобедренный, то Ð3 = Ð4. 4) ÐВ=Ð2+Ð4, ÐВ1 = Ð1+Ð3, Ð2=Ð1,Ð3=Ð4 => ÐВ=ÐВ1 5) В ∆АВС и ∆А1В1С1: ÐВ=ÐВ1 , АВ= А1В1(по усл.), ВС=В1С1(по усл.) => ∆АВС = ∆А1В1С1(по 2-ум сторонам и углу мжду ними).

2. Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника (с доказательством).

· Это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием.

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике углу при основании равны

Дано: ∆АВС, АВ=АС. Док-ть: ÐВ=ÐС. Док-во: 1) Пусть AD – биссектриса ∆АВС. 2) Рассмотрим ∆АВD и ∆ACD: АВ=АС(по усл.), AD(общ.стор.), Ð1=Ð2(т.к. AD – биссектриса) => ∆АВD=∆ACD(по 2-ум сторонам и углу между ними) 3) Т.к. ∆АВD=∆ACD => ÐВ=ÐС ч.т.д.

 

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: ∆АВС, AD – биссектриса, АВ=АС Док-ть: AD – медиана, высота Док-во: 1) Из равенства ∆АВD и ∆ACD следует: BD=DC, Ð3=Ð4. 2) Т.к. BD=DC => AD - медиана. 3) Т.к. Ð3=Ð4 и они смежные => AD – высота. ч.т.д.

3. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых(один с доказательством).

· Параллельные прямые — это две прямые на плоскости, если они не имеют общую точку. Параллельные прямые записываются через знак параллельности «||».

1-ый признак

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямы параллельйны. Дано: прямые а и в, с – секущая; Ð1=Ð2. Док-ть: а ççв Док-во: 1) Пусть прямая с Ç а = А, с Ç в = В отметим точку О – середина АВ. 2) Проведем ОН^а и отложим ВН1=АН.

3) Рассмотрим ∆АОН и ∆ВОН1: АО=ОВ(по постр.), АН=ВН1(по реш.), Ð1=Ð2(по усл.) Þ ∆АОН=∆ВОН1(по 2-ум сторонам и углу между ними) Þ Ð3=Ð4, Ð5=Ð6. 4) Т.к. Ð5=Ð6, то они вертикальные Þ т. Н,О,Н1 лежащие на одной прямой. 5) Т.к. Ð3=Ð4 и Ð3=90°, тоÐ4=90° Þ а^НН1 и В^НН1, выходит что а ççв.

 

2-ой признак

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллейны.

Дано: прямые а и в, с – секущая.

Ð1=Ð2 – соответственные.

Док-ть: а ççв

Док-во:1) Ð1=Ð3(по св-ву верт.углов), Ð1=Ð2(по усл.)ÞÐ3=Ð2.

2) Ð3=Ð2-накрест лежащие углу при пар-ных сторон а и в, и секущей с.

3) Т.к. Ð3=Ð2 Þ а ççв (по 1-му признаку).

	с

3-ий признак

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: прямые а и в, с – секущая, Ð1=Ð2 – соответственные. Док-ть: а ççв Док-во: 1) Ð3=Ð2(по св-ву верти. углов), Ð2=Ð1(по усл.)ÞÐ1+Ð4=180° 2) Т.к. Ð3 и Ð4 – смежные, то Ð3+Ð4=180°Þ а ççв