Метод координат в геометрии. Алгебраические линии

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .

Аналитическая геометрия на плоскости

 

Метод координат в геометрии. Алгебраические линии.

 

О.1.1. Фигурой на плоскости (в пространстве) называется любая совокупность точек плоскости (пространства).

Простейшими фигурами на плоскости являются точка и прямая; в пространстве – точка, прямая, плоскость.

Фигура может быть задана либо перечислением всех ее точек, либо указанием характеристического свойства этих точек.

Ф₁={А, В} – две точки А и В;

Ф₂={М|М=А или М=В или А-М-В} – отрезок;

Ф₃={M| =t , tÎR⁺} – луч;

Ф₄={M| =t , tÎR} – прямая;

Ф₅={M|ρ(M₀, M)=r} – окружность.

Пусть на плоскости (в пространстве) задана фигура Ф={M|P(M)} и пусть на этой плоскости (в этом пространстве) задана аффинная система координат О (О ). Тогда каждой точке М плоскости (пространства) будет соответствовать радиус-вектор. В некоторых случаях удается найти предикат R(х,у), такой, что R(х,у) принимает значение истина тогда и только тогда, когда точка М(х,у) удовлетворяет условию Р(М). Тогда Ф определяется, как множество точек с координатами, удовлетворяющими предикату R(х,у) (или R(х,у,z)).

Ф={M(х,у)|R(х,у)} (Ф={M(х,у,z)|R(х,у,z)})

Исследуя свойства функции R(x,y) будем исследовать и свойства фигуры Ф. Этот метод исследования фигур на плоскости (в пространстве) называется методом координат в геометрии.

Отметим, что Ф={M(х,у)|R(х,у)} означает равенство двух множеств. Слева – множество точек фигуры Ф, справа – множество точек, удовлетворяющих функции R(х,у). для обоснования равенства необходимо показать: 1) если М(х,у)ÎФ, то координаты точки М удовлетворяют предикату R(х,у); 2) если координаты (х, у) удовлетворяют предикату R(х,у), то точка М(х,у)ÎФ.

Например. Рассмотрим множество ω(М₀,r)={M|ρ(М₀,М)=r}.

1) Покажем, что если точка М(х,у) принадлежит окружности ω(М₀,r), то ее координаты удовлетворяют условию ρ(М₀,М)=r.

Пусть М₀(х₀,у₀).

ρ(М₀,М)=| |= , ρ(М₀,М)=r

Þ =r

Þ =r² (1)

Если М(х,у)Îω(М₀,r), то ее координаты удовлетворяют уравнению (1).

2) Пусть координаты точки N(x₁,y₁) удовлетворяют уравнению =r, то есть ρ(М₀,N)=r. Следовательно, точка N лежит на расстоянии r от точки М₀, то есть она лежит на окружности с центром М₀ и радиуса r, Þ NÎω(М₀,r).

О.1.2. В аналитической геометрии фигура называется алгебраической, если предикат, описывающий эту фигуру является алгебраическим уравнением.

Уравнение F(х,у)=0 (F(х,у,z)=0) называется алгебраическим, если F(х,у) (F(x,y,z)) является суммой членов вида ах^sy^t (ax^sy^tz^k), где аÎR – коэффициент, х,у,z – переменные, s,t,k – натуральные числа.

s+t (s+t+k) – степень одночлена ах^sy^t (ах^sy^tz^k), наибольшая степень одночлена, входящего в F(х,у) (F(х,у,z)), называется степеью F(х,у) (F(х,у,z)) или порядком многочлена F(х,у) (F(х,у,z)).

Т.1.1. Понятие алгебраической фигуры и порядок алгебраической фигуры не зависят от выбора аффинной системы координат.

Без доказательства.

То есть, если фигура была алгебраической в одной системе координат, то она останется алгебраической и в другой системе координат.