Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

 

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M₀ (x ₀, y ₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем

и так как то .

 

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х, у), =(х ₀, у ₀), то

x = x ₀ + mt,

y = y ₀ + nt

 

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

 

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х ₁, у ₁) и

M₂(x ₂, у ₂), то вектор =(х ₂- х ₁, y ₂- у ₁) является направляющим вектором прямой l. Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

 

Взаимное расположение двух прямых.

 

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы своими общими уравнениями

l ₁: А₁ х + В₁ у + С₁ = 0, (1)

l ₂: А₂ х + В₂ у + С₂ = 0.

 

Теорема. Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁ λС₂.