Полюс принадлежит области D.

Уравнение Г границы контура

В частном случае при

(т.е. область D – окружность с центром в полюсе)

Замечание: В свойстве отмечалось, что если , то двойной интеграл , т.е. площади D.

В полярной системе координат если ,то - формула площади в полярной системе координат.

Пример:

, D:

Перейдём в полярную систему координат:

;

;

- уравнение лемнискаты

 

Приложение двойного интеграла к решению геометрических и физических задач.

П.1 Вычисление площадей плоских фигур.

При или имеем: ;

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: xy=4; y=x; x=4.

(кв. ед).

п.2 Вычисление объёмов тел с помощью двойного интеграла.

С геометрической точки зрения ,ограниченного сверху –f(x;y), снизу – областью D, с боков – некоторой цилиндрической поверхностью, . В цилиндрической системе координат: .

Пример: Вычислить V тела, ограниченного поверхностями: y=x²; y=1; x+y+z=4; z=0.

.

П.3 Физический смысл двойного интеграла.

Пусть D – плоская пластина, лежащая в плоскости x0y с поверхностной плотностью , тогда массу этой пластины можно найти по формуле:

Статические моменты пластины относительно осей 0x и 0y находят по формулам:

;

Координаты центра масс пластины:

Моменты инерции пластины D относительно осей координат и начала координат:

;