Задачи для решения на занятии. 1. Построение графика дробно-линейной функции

 

1. Построение графика дробно-линейной функции

 

Любую дробно-линейную функцию можно представить в виде . Таким образом, график ом дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы с помощью двух параллельных переносов - вдоль оси на единиц и вдоль оси на единиц.

 

Пример. Построить график функции .

Для этого выделим из дроби целую часть, представив дробь в виде . Имеем: .

Здесь , , .

График функции можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов: сдвига гиперболы на 1 единицу вправо вдоль оси и сдвига полученного графика на 2 единицы вверх в направлении оси . При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы : ось перейдет в прямую , а ось - в прямую .

Для построения графика данной функции проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую и прямую . Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения этих ветвей составим две таблицы: одну для , другую для .

 

х	-5	-3	-2	-1			х
у		0,5		-1	-4		у				3,5

 

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы. График функции построен (выполните самостоятельно).

 

№ 1. Постройте график функции и найдите асимптоты гиперболы:

Вариант 1. . Вариант 2. .

2. Построение графика функции

Функция (абсолютная величина ) задается следующим образом:

График функции в промежутке совпадает с графиком функции , а в промежутке - с графиком функции . Он состоит из двух лучей, исходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

 

Пример. Построить график функции с помощью последовательных преобразований графика функции .

 

Выполним последовательные преобразования графика функции .

График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на 1 единицу вправо.

Для получения графика функции нужно сдвинуть график функции на 2 ед. вверх.

 

 

 

 

График функции

№2. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

Вариант 1. а) ; б) ; в) .

Вариант 2. а) ; б) ; в) .

Пример. Построить график функции согласно определению абсолютной величины числа.

 

Воспользуемся определением абсолютной величины числа.

; или .

Тогда ; или

.

На промежутке построим прямую , а на промежутке - прямую . Для каждой прямой зададим по две точки.

 

	- 1

 

 

 

 

-1 0 1 2

График функции

3. Построение графика функции

Правило. Чтобы построить график функции , нужно оставить без изменения те участки графика функции , где , и зеркально отразить относительно оси участки графика , где .

№3. Построить графики функций, выполняя последовательные преобразования графика .

Вариант 1. а) ; б) .

Вариант 2. а) ; б) .