Примеры решения типовых задач. 1.При каких значениях параметра обратим данный оператор ?

1. При каких значениях параметра обратим данный оператор ? Найдите обратный оператор , когда он существует.

Пример 1. .

Решение. В соответствии с определением обратного оператора рассмотрим уравнение . В нашем случае оно равносильно следующей системе линейных уравнений с параметром:

(1)

Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда эта система имеет единственное решение при любом у из . По правилу Крамера это произойдет тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы отличен от нуля. Но легко подсчитать, что

.

Таким образом, обратный оператор существует тогда и только тогда, когда . Решая при этих значениях параметра систему (1), получим Следовательно,

2. Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

 

Пример 1.

 

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А является биекцией. Рассмотрим уравнение , которое равно-сильно системе уравнений

, .

Отсюда

. (2)

Но последовательность ограничена сверху, поскольку является сходящейся: . Если С – одна из ее верхних границ, то

, (3)

а потому . Мы получили, что для любого уравнение имеет единственное решение х из пространства . Значит, А – биекция. Более того, из (2) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки (см. (3))

.

 

Пример 2.

 

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Запишем его в виде

,

и рассмотрим уравнение , то есть

. (4)

Пусть

. (5)

Тогда (4) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (4) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это выражение в (5), без труда находим, что

.

Таким образом,

. (6)

Итак, для любого уравнение (4) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (6).

Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме при всех t имеем

,

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (6) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

 

3. Пусть

1) Что представляет собой множество значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным (в случае, если он существует)?

4) Существует ли обратный оператор ?

 

Пример 1. .

Решение. Очевидно, что

–

множество всех точек из пространства , первая координата которых равна нулю. Заметим, что

Так как уравнение очевидно имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор существует. Решая уравнение , находим, что

.

Оператор ограничен, так как .

Поскольку , то оператор А не является сюрьекцией. Следовательно, А необратим.

 

Пример 2. .

 

Решение. По теореме о дифференцировании интеграла с перемен-ным верхним пределом (теореме Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что .

Обратно, если и , то по формуле Ньютона-Лейбница имеем . Поэтому

Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу)

при всех , то – левый обратный для оператора А.

Покажем, что не является ограниченным оператором. Допустим противное, т. е.

Полагая здесь , получаем . Противоречие.

Поскольку , оператор А не является сюръекцией. Следовательно, не существует .

 

4. Пусть , где – числовой параметр, , Y − банаховы пространства. Выяснить, при каких значениях существует обратный оператор к оператору , и построить его. При каких значениях оператор непрерывно обратим?