Решение. Зафиксируем любое число и пакажем, что найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству |x1– x

Зафиксируем любое число и пакажем, что найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству | x ₁– x ₂|< , выполняется неравенство

| x ₁²– x ₂²|< . Рассмотрим разность

(x ₁²– x ₂²)=(x ₁– x ₂)(x ₁ + x ₂) и заметим, что если , то модуль суммы

| x ₁ + x ₂|<2 a. С учетом свойства модуля, получаем неравенство

| x ₁²– x ₂²| = | x ₁– x ₂ || x ₁ + x ₂|<2 a | x ₁– x ₂ |. Потребуем, чтобы 2 a | x ₁– x ₂|< | x ₁– x ₂|< . Тогда для всех , удовлетворяющих условию | x ₁– x ₂|< , где = , выполняется неравенство | x ₁²– x ₂²|< . Так как – любое положительное число, то функция равномерно непрерывная на интервале (– a;a), по определению.

Пример 2. Доказать, что функция не является равномерно непрерывной на всей числовой прямой.

► Пакажем, что существует такое число , что для всех >0 всегда найдутся _, такие, что| x ₁– x ₂|< , але | x ₁²– x ₂²|> . Возьмем =1 и рассмотрим точки

x ₁= + и x ₂ = , где –любое положительное число, они удовлетворяют неравенству

| x ₁– x ₂|=| + – |= < , но | x ₁²– x ₂²| = | x ₁– x ₂|| x ₁+ x ₂|= ( + )=1+ ≥1. Значит не является равномерно непрерывной на всей числовой прямой. ◄

Теорема 1. (Кантора) Непрерывная на отрезке является равномерно непрерывной на этом отрезке

Дано: функция f(x) – непрерывная на [ a;b ].

Докзать: функция. f(x) — равномерно непрерывная на [ a;b ].

► Доказательство проведем методом от противного. Пусть f(x) не является равномерно непрерывной на [ a;b ], т.е. $ ε ^* > 0 такое, что "δ >0 и для любых x’ _, x” Î[ a;b ], удовлетворяющих неравенству | x’ – x” |< , выполняется неравенство | f(x’) – f(x”) |≥ ^*.

Для δ = 1 $ x₁’ _, x₁” Î[ a _, b ] такие, что | x₁’ – x₁” |<1, выполняется неравенство

| f(x₁’) – f(x₁”) |≥ ^*.

Для δ = 1 $ x₂’ _, x₂” Î[ a _, b ] такие, что | x₂’ – x₂” |< , выполняется неравенство

| f(x₂’) – f(x₂”) |≥ ^*.

Для δ = $ x₃’ _, x₃” Î[ a _, b ] такие, что | x₃’ – x₃” |< , выполняется неравенство

| f(x₃’) – f(x₃”) |≥ ^*.

......................................................................................

Для δ = $ x_n’ _, x_n” Î[ a _, b ] такие, что | x_n’ – x_n” |< , (1)

выполняется неравенство | f(x_n’) – f(x_n”) |≥ ^*. (2)

......................................................................................

Таким образом на [ a _, b ] построили две ограниченные последовательности (x_n’)_{, (} x_n”) Þ(по Т §) $ – сходящаяся подпоследовательность последовательности (x_n’), и пусть Î[ a _, b ]. (3) Адпаведная подпоследовательность последовательности (x_n”) является абмежаванайÞ$ – збежная подпоследовательность последовательности Þ – збежная подпоследовательность последовательности и . Из неравенства

по теореме о пределе промежуточной последовательности, с учетом (1) и (3), получаем, что Î[ a _, b ]. По условию теоремы функция f(x) –непрерывна на [ a;b ], а значит и в точке х₀. Воспользуемся определением непрерывной функции по Гейне: , Þ Þ" ε >0 (а значит и для ε = ^*.) $ n₀ ÎN такой, что " n > n₀, n ÎN выполняется неравенство ^*, что противоречит (2). Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на [ a, b ], тогда такое, что при любом делении [ a,b ] на части точками a = x ₀< x ₁<… < x_{k –1}< x_k <… x_n = b, при условии, что длины отрезков деления меньше , выполняется неравенство

.

Замечание. Если функция f (x) непрерывна на (a, b), то теорема Кантора, вообще говоря, не имеет места.

Пример 3. Функция не является равномерно непрерывной на (0;1). Действительно, для " ε >0 $ δ = min такое, что " х Î(0;1), удовлетворяющие условию | x – x ₀|< , выполняется неравенство | f (x) – f (x ₀)|< — это определение непрерывной в любой точке функции по Коши. Из формулы для δ видно, что оно зависит от x ₀ Пакажем, что " ε >0 нельзя подобрать δ такое, чтобы оно было одинаковым для всех х₀ Î(0;1) и, как только | x – x ₀|< , то выполняется неравенство | f (x) – f (x ₀)|< . Доказательство проведем методом от противного, пусть для ε >0 такое, что _, удовлетворяющих условию | x ₀– x |< , выполняется неравенство | f(x₀) – f(x) |< ε. Возьмем 0< x₀ <δ, а потом 0< x < Þ

Þ , но f (x) – f (x ₀)= (противоречие) Þ нельзя подобрать δ такое, чтобы оно было одинаковым для всех х₀ Î(0;1).

Определение 2. Величина называется колебанием функции f (x) на промежутке X.