Линейный оператор. Матрица линейного оператора.

инейный оператор, обобщение понятия линейного преобразования на линейные пространства. Линейным оператором F на линейном пространстве Е называют функцию F (x), определённую для всех х Î Е, значения которой суть элементы линейного пространства E₁, и обладающую свойством линейности:

F ((x + (у) = (F (x) + (F (y),

где х и у — любые элементы из Е, a и b — числа. Если пространства Е и E ₁ нормированы и величина ограничена, то Линейный оператор F называют ограниченным, а его нормой.

Важнейшими конкретными примерами Линейный оператор в функциональных пространствах являются дифференциальные Линейный оператор

и интегральные Линейный оператор

инейный оператор A действует из n -мерного линейного пространства X в m -мерное линейное пространство Y.

В этих пространствах определены базисы e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _m }.

Пусть A (e _i) = a _{1 i} ·f ₁ + a _{2 i} ·f ₂ +...+ a _{m i} ·f _m — разложение образа i -го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2,..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,