Определитель произведения матриц.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Определитель произведения матриц.

Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

Доказательство разобьем на несколько случаев.

Случай 1. Пусть – элементарная матрица n -го порядка, т.е. получена из единичной одним из элементарных преобразований. По свойствам определителей, . По свойствам элементарных матриц матрицу можно получить из матрицы B тем же элементарным преобразованием, поэтому . Таким образом, в этом случае .

Случай 2. Покажем, что утверждение верно для произведения любого числа элементарных матриц: . Доказательство проведем, используя метод математической индукции:

а) верно в силу случая 1.

б) Пусть утверждение верно для k множителей. Покажем, что тогда оно верно и для k+1 множителей.

.

Случай 3. Пусть теперь A и B – произвольные матрицы n -го порядка.

Если , то . По теореме о столбцовом пространстве произведения матриц . Поэтому , а значит, .

Аналогично, если , то , а значит, и .

Пусть теперь , т.е. обе матрицы невырожденные. Следовательно, по свойствам элементарных матриц, каждую из них можно представить в виде произведения элементарных матриц. Таким образом, применяя случай 2, и ■