Занятие 5.

Тема. Неявное и параметрические задания функций и их дифференцирование.

Определение 5.1. Если функция задана формулой, то будем говорить, что функция задана явным образом.

Пример 1. Пусть . Значение такой функции легко вычислить. Нужно заданное значение аргумента подставить в формулу и сосчитать полученное выражение. Например .

Определение 5.2. Если функция является решением некоторого уравнения, то будем говорить, что функция задана неявным образом.

Вся сложность при неявном задании функции заключается в вычислении значения функции при заданном значении её аргумента.

Пример 2. Уравнение определяет функцию . В данном случае мы можем решить это уравнение относительно и получить явное задание .

Пример 3. Рассмотрим уравнение . Оно также задает функцию . Решим уравнение относительно

Таким образом, данное уравнение задаёт нам две различных явно заданных функции. Как конкретизировать функцию при её неявном задании. Очень просто нужна дополнительная информация.

Пример 4. Уравнение с дополнительным условием «все значения функции больше нуля» задает нам единственную функцию

Уравнение с дополнительным условием «все значения функции меньше нуля» задает нам единственную функцию

 

При неявном задании функции также нужно определить заранее какая из двух переменных является аргументом, а какая функцией. Например, если считать в уравнении переменную аргументом, а переменную функцией, то уравнение задаёт две функции

Если к уравнению добавить условие «при значение », то

получим только одно явное выражение для функции: .

Пример 5. Функция задана неявно уравнением и дополнительным условием . Написать формулу явного задания функции.

Решение. Решаем квадратное уравнение относительно

Дополнительному условию удовлетворяет только функция .

Чаще всего невозможно получить явное выражение для функции, которая задана неявно. Однако производную от функции заданной неявно получить несложно из самого уравнения. Такой алгоритм называется правилом неявного дифференцирования.