Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

 

Решение.

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем

Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α; и t = β; определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α; = 0 и β; = π;/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Отсюда S = πab.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = - x ² + x + 4 и y = - x + 1.

 

Решение.

Найдем точки пересечения линий y = - x ² + x + 4, y = - x + 1, приравнивая ординаты линий: - x ² + x + 4 = - x + 1 или x ² - 2 x - 3 = 0. Находим корни x ₁ = -1, x ₂ = 3 и соответствующие им ординаты y ₁ = 2, y ₂ = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Определить площадь, ограниченную параболой y = x ² + 1 и прямой x + y = 3.

 

Решение.

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x ₁ = -2 и x ₂ = 1.

Полагая y ₂ = 3 - x и y ₁ = x ² + 1, на основании формулы получаем

Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r ² = a ²cos 2 φ;.

 

Решение.

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f (φ;) и двумя полярными радиусами φ;₁ = ʅ; и φ;₂ = ʆ;, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a ².

Вычислить длину дуги астроиды x ^2/3 + y ^2/3 = a ^2/3.

 

Решение.

Запишем уравнение астроиды в виде

(x ^1/3)² + (y ^1/3)² = (a ^1/3)².

Положим x ^1/3 = a ^1/3cos t, y ^1/3 = a ^1/3sin t.

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

x = a cos³ t, y = a sin³ t, (*)

где 0 ≤ t ≤ 2 π;.

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π;/2.

Получаем

dx = -3 a cos² t sin t dt, dy = 3 a sin² t cos t dt.

Отсюда находим

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π;/2, получаем

Отсюда L = 6 a.

Найти площадь, ограниченную спиралью Архимеда r = aφ; и двумя радиусами-векторами, которые соответствуют полярным углам φ;₁и φ;₂ (φ;₁ < φ;₂).

 

Решение.

Площадь, ограниченная кривой r = f (φ;) вычисляется по формуле , где α; и β; - пределы изменения полярного угла.

Таким образом, получаем

(*)

Из (*) следует, что площадь, ограниченная полярной осью и первым витком спирали Архимеда (φ;₁ = 0; φ;₂ = 2 π;):

Аналогичным образом находим площадь, ограниченную полярной осью и вторым витком спирали Архимеда (φ;₁ = 2 π;; φ;₂ = 4 π;):

Искомая площадь равна разности этих площадей

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x ² и x = y ².

 

Решение.

Решим систему уравнений

и получим x ₁ = 0, x ₂ = 1, y ₁ = 0, y ₂ = 1, откуда точки пересечения кривых O (0; 0), B (1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) [0, π;]; б) [0, 2 π;].

 

Решение.

а) На отрезке [0, π;] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

б) На отрезке [0, 2 π;], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2 π;] разделить на два [0, π;] и [ π;, 2 π;], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [ π;, 2 π;] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна