Лемма Рисса. Об одном применении леммы Рисса

Лемма Рисса. Пусть - подпространство нормированного пространства , причем . Для любого числа существует элемент такой, что

, . (2.14)

Доказательство. Поскольку , то существует элемент . Положим

.

Из предложения 19 следует, что . По определению , для любого числа найдется элемент такой, что

.

Введем в рассмотрение элемент

, ,

и докажем, что - искомый элемент. Вначале заметим, что , ибо в противном случае , откуда , а это противоречит выбору элемента . Далее оценим расстояние от до :

.

При выводе этого неравенства учли, что , а также неравенство для . Лемма доказана.

Рассмотрим одно из применений леммы Рисса. Известно из курса математического анализа, что всякая ограниченная последовательность точек из содержит сходящуюся подпоследовательность. В бесконечномерном пространстве не из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. С помощью леммы Рисса построим такой пример.

Пример 1. Рассмотрим бесконечномерное нормированное пространство и возьмем произвольный элемент . Обозначим через линейную оболочку , т.е. совокупность элементов вида . Пространство является бесконечномерным, поэтому . По лемме Рисса найдется элемент такой, что

, .