Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство.

 

.

 

Не­ра­вен­ство за­ве­до­мо вы­пол­ня­ет­ся, если пра­вая часть от­ри­ца­тельнв, то есть, если

Если то

 

Это верно толь­ко тогда, когда .

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства

 

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

 

 

По­лу­ча­ем или

 

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся общая часть ре­ше­ний обоих не­ра­венств:

или

 

 

Ответ:

5. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

 

Вариант № 3832815

1. C 4. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник пло­щадь ко­то­ро­го равна

ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не . Из­вест­но, что Най­ди­те сто­ро­ну .

 

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пусть − по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Пусть и − се­ре­ди­ны сто­рон и со­от­вет­ствен­но. Тогда

В тра­пе­ции впи­са­на окруж­ность, по­это­му

 

 

 

зна­чит,

 

 

 

 

 

По фор­му­ле Ге­ро­на:

 

 

 

 

 

От­сю­да на­хо­дим, что или

 

Ответ: или .

2. C 4. Пло­щадь тра­пе­ции равна 810. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну ос­но­ва­ния с вер­ши­на­ми и пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках и Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше дру­го­го.

 

Ре­ше­ние.

Пусть (рис. 1). Че­ты­рех­уголь­ни­ки и — па­рал­ле­ло­грам­мы, по­это­му и — се­ре­ди­ны и зна­чит, и — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка Пусть — вы­со­та тра­пе­ции. По­ло­жим Тогда

 

 

а т. к. — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка по­это­му

 

 

 

Ана­ло­гич­но, зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку с ко­эф­фи­ци­ен­том За­ме­тим, что по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки AOD и BOC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, вы­со­та тре­уголь­ни­ка AOD вдвое боль­ше вы­со­ты тре­уголь­ни­ка BOC и со­став­ля­ет две трети вы­со­ты тра­пе­ции. Имеем:

 

 

Рас­смот­рим слу­чай, когда (рис. 2) Пусть — вы­со­та тра­пе­ции. По­ло­жим Тогда

 

Тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку с ко­эф­фи­ци­ен­том , а тре­уголь­ник – тре­уголь­ни­ку с ко­эф­фи­ци­ен­том Тогда

 

 

 

зна­чит, Ана­ло­гич­но, Сле­до­ва­тель­но,

 

 

 

Ответ: или

3. C 4. Че­ты­рех­уголь­ник опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в дру­гую окруж­ность. Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка если из­вест­но, что и