Введение. В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде:

В общем виде число А в p -ной позиционной системе счисления представляется в виде:

A = a_n*pⁿ+a_n-1*p^n-1+…+a₁*p¹+a₀*p⁰+a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m =

=

 

При k = Const получается число с фиксированной точкой:

k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой

A = a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m

k=r: целое число – число с фиксированной точкой

A = a_n*pⁿ+a_n-1*p^n-1+…+a₁*p¹+a₀*p⁰

При k ≠ Const получается число с плавающей запятой.

 

Данная лабораторная работа посвящена изучению чисел с фиксированной точкой. При дальнейшем описании мы будем ориентироваться на числа с фиксированной запятой в этом классе представления чисел. Однако все представленные теоретические обоснования легко экстраполировать и на числа с фиксированной точкой в строгом смысле этого термина.

 

Прямой код. Возможны два варианта изображения знаков чисел двоичными цифрами:

«+» обозначать «0», а «-» обозначать «1»;

«+» обозначать «1», а «-» обозначать «0».

Оба варианта равноценны.

На практике в основном используется первый вариант. При таком решении все положительные числа имеют вид: 0,..., а отрицательные: 1,.... В данном случае знаковая цифра (код знака) помещается слева от запятой на место разряда с весом 2° (рис.).

 

Зн

2n-1

2n-2

…

20

 

Рис. Представление числа с фиксированной запятой в прямом коде.

 

Если знак и цифровую часть числа рассматривать как единое целое, то изображение положительных чисел не изменяется и определяется интервалом 0 ≤ х < 1, а все отрицательные числа изображаются положительными числами [х]_пк, расположенными в интервале 1 ≤ [х]_пк<2. Рассмотренную связь между числом х и его изображением в прямом коде — [х]_пк можно представить в виде:

Таким образом, число, заданное в прямом коде, можно описать следующим образом:

Х_пк = ЗнХ.|X|

Примеры: +5₁₀ = 0.101₂пк

-5₁₀ = 1.101₂пк

 

Методика выполнения алгебраического сложения, рациональная для применения в ЭВМ, должна удовлетворять следующим условиям:

• обработка знаковых и цифровых разрядов суммируемых чисел X и Y должна производиться по одинаковым правилам с получением при этом правильного знака суммы;

• должна исключаться операция прямого вычитания, и вместо неё алгебраическое суммирование чисел разных знаков должно выполняться как сложение специальных кодов суммируемых чисел;

• должно определяться переполнение, соответствующее
| X + Y | ≥ 1 при условии, что абсолютное значение X и Y меньше единицы.

 

Числа, представленные в прямом коде, не соответствуют данным условиям, в частности, пункту 2. Поэтому для арифметических операций в ЭВМ прямой код представления чисел практически не используется.

 

Всем указанным условиям удовлетворяет методика алгебраического сложения дополнительных и обратных кодов исходных чисел.

 

Обратный код. В этом коде связь между числом х и его изображением в обратном коде [х]_окопределяется равенством:

Покажем, как практически представить в обратном коде отрицательное число. При х ≤ 0: X_ок = 2 + х – 2^-n = 2 - |x| - 2^-n:

_10.00...00 2

00.00...01 2^-n

1.11...11 2 - 2^-n

 

_{_}1. 1 1... 1 1 2 - 2^-n

0.x₁x₂...x_n-1x_n |x|

0. x̅₁x̅₂...x̅_n-1x̅_n

Таким образом, для отрицательного числа получение обратного кода заключается в присвоении знаковому разряду кода 1 и замене 0 на 1, а 1 на 0 в цифровой части модуля числа.

Примеры: +5₁₀ = 0.101₂пк = 0.101₂ок

-5₁₀ = 1.101₂пк = 1.010₂ок

 

При обратном преобразовании, о есть при переходе от обратного кода к прямому, от обратного кода берется обратный код.