Доверительные интервалы для оценки числовых характеристик нормального распределения

Доверительный интервал для математического ожидания нормального

распределения (при известном s)

 

В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение s ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения проводились одним и тем же прибором при одних и тех же условиях, то s для всех измерений одно и тоже и обычно бывает известным.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально с параметрами а и s, причем среднее квадратическое отклонение s известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Для этого построим доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью g.

Будем рассматривать как СВ и выборочные значения признака x₁, x₂, …, x_n – как одинаково распределенные независимые СВ X₁, X₂, …, X_n. При этом .

 

Т.4.1. Если СВ Х распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, так же распределена нормально. В этом случае

.

Пусть выполняется соотношение

,

где g - заданная надежность.

Если в формуле (см. нормальное распределение)

заменить Х на и s на , то получим

,

где . Отсюда .

Тогда .

Так как вероятность Р задана и равна g, то получим:

(3)

Смысл соотношения (3):

С надежностью g можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а, причем точность оценки определяется как .

Число t определяется из равенства

Þ

Здесь Ф(t) – функция Лапласа, значение которой табулированы.

 

Доверительный интервал для математического ожидания нормального

распределения (при неизвестном s)

стр.291

Очевидно, в этом случае нельзя использовать ранее полученный интервал.

Однако, по данным выборки можно построить СВ

,

которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Здесь - выборочная средняя, s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение , n – объем выборки.

Пользуясь распределением Стьюдента, можно найти доверительный интервал

,

покрывающий неизвестный параметр а с надежностью g.

Для значений t_g существуют специальные таблицы, в которых по заданным n и g можно найти t_g.

 

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального

распределения

стр.292-293

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Для этого построим доверительные интервалы, покрывающие параметр s с заданной надежностью g.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

, (4)

где g - заданная надежность.

Преобразуем неравенство |s – s| < e:

Таким образом, неравенство (4) примет вид:

(5)

 

Смысл соотношения (5):

С надежностью g можно утверждать, что доверительный интервал (s(1-q); s(1+q)) покрывает неизвестный параметр s, причем точность оценки определяется как

e = qs

 

Для q = q(g, n) составлены таблицы, по которым для известных n и g определяется q.

 

Замечание

Выше предполагалось, что q < 1. Если q > 1, то, учитывая, что s > 0, получим

,

то есть доверительный интервал имеет вид (0; s(1+q)).

 

Заключение

На сегодняшней лекции мы изучили задачу оценивания параметров известного теоретического распределения, познакомились с точечными и интервальными оценками, рассмотрели их свойства.