Экранирование зарядов в плазме. Дебаевский радиусВажной характеристикой плазмы является величина, называемая длиной экранирования, или дебаевским радиусом. Каждая заряженная частица вызывает поляризацию плазмы, т.е. накопление вокруг нее частиц противоположного знака, что и приводит к экранированию поля частицы. Экранированный потенциал может быть вычислен с помощью теории Дебая, развитой в начале 20-го столетия для растворов электролитов. Для упрощения задачи будем использовать следующие предположения: а) плазма является изотермической, а частицы в ней распределены по закону Больцмана; б) положительные ионы являются однозарядными; в) плазма является безграничной; г) можно пренебречь микрофлуктуациями потенциала, связанными с дискретностью зарядов. Будем рассуждать следующим образом. Положительно заряженный ион создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом
где
где qi = е – заряд иона. При Из (13) и (14) вытекает, что объемная плотность зарядов в плазме равна
где
или
Уравнение (17) – нелинейное, и построить его решение удается только после линеаризации, т.е. в приближении
Тогда, принимая во внимание известное соотношение
где величина
называется радиусом экранирования или дебаевским радиусом. Для решения уравнения (19) воспользуемся известным из теории обобщенных функций соотношением
и его следствием
Тогда решение уравнения (19) можно представить в виде
при условии, что А + В =1. Коэффициент В должен равняться 0, иначе потенциал
Построенный потенциал
Это означает, что в месте расположения иона создается потенциал
который определяет потенциальную энергию этого поля в плазме:
такое же значение энергии получается и для электрона. Если потенциальная энергия электронов ионов плазмы много меньше (по модулю) их кинетической энергии, т.е.
плазма называется идеальной. С учетом соотношения (18) неравенство (27) можно переписать как
Другими словами, в идеальной плазме число частиц Nd внутри сферы радиуса d оказывается много большим единицы. Например, в случае плазмы с температурой Т = 107 К и плотностью n 0 = 1014 см-3 (такие параметры характерны для термоядерной плазмы) дебаевский радиус равен Проведенные выкладки распространяются и на случай неизотермической плазмы, характеризующейся электронной температурой Те и ионной Ti. Действуя точно так же, как и ранее при выводе формул (13) – (23) (изменения касаются только распределений Больцмана (14), в которых теперь стоят свои температуры Те и Ti), получим тот же окончательный результат (23), но с другой длиной экранирования d:
Дебаевский радиус можно рассматривать как масштаб разделения зарядов в плазме. Если пространственные размеры ионизованной среды меньше дебаевского радиуса, то такую среду следует рассматривать скорее не как плазму, а как совокупность свободных зарядов. Если же указанные пространственные размеры велики по сравнению с дебаевским радиусом, ионизованная среда ведет себя как истинная плазма. В этом случае полное число частиц в плазме N удовлетворяет условию Выражение для экранированного потенциала (23) справедливо лишь при выполнении условия (18). С помощью подстановки
Следовательно, формула (23) не применима при Обобщая вышесказанное, приходим в выводу, что несмотря на приближенный характер теории Дебая, она позволяет оценить, при каких параметрах плазму можно описывать законами идеального газа. В заключение этого параграфа приведем несколько полезных формул. Величина kT, называемая термодинамической температурой, в физике плазмы измеряется в практически удобных единицах – электронвольтах (эВ) и обозначается той же буквой Т. При этом
Давление плазмы при условии применимости законов идеального газа, т.е. формулы (27), записывается в виде
Условие применимости формулы (30) выглядит следующим образом:
|