Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.
Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении , т.е. по закону
надо:
1. Оценить параметры и - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров)
.
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения
.
3. Найти теоретические частоты:
.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где - число интервалов, на которые разбита выборка.
Задача №658. Произведено n=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.1(в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появления А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.
Таблица 13
интервал
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
частота
Составим гистограмму
Рис. 1
По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.
Решение 1. Найдем оценки параметров и равномерного распределения по формулам: ,
Для вычисления выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения примем середины интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:
Таблица 14
№ п/п
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
Таблица 15
№ п/п
∑
Пользуясь, например, методом произведений, найдем:
Следовательно:
2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
3. Найти теоретические частоты:
Длины третьего-девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.
.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы . Для этого составим таблицу.
Таблица 16
i
17,4
3,7
13,69
0,79
-4
0,80
-5
1,25
1,80
0,20
-6
1,80
0,05
0,20
-2
0,20
23,6
1,4
1,96
0,08
∑
Из расчетной таблицы получаем . По таблице находим . Так как < нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
Контрольные вопросы.
1. Что называется статистической гипотезой?
2. Какие критерии согласия вы знаете?
3. Как определяется число степеней свободы? В каком критерии оно используется?
4. Когда необходимо объединять интервалы?
5. Можно ли использовать критерий , если имеется 20 опытных данных?
6. Может ли критерий согласия давать согласие с несколькими законами распределения?
Библиографический список.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.
2. ГОСТ 11. 006- 74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.
3. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при которых тело находится под действием заданной системы сил...
Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...
Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...
Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...
Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...
Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...
Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...
в виде последовательности интервалов 
и соответствующих им частот 
, причем 
(объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.
и 
- концы интервала, в котором наблюдались возможные значения 
и 
обозначены оценки параметров)
.
.
.
, где 
- число интервалов, на которые разбита выборка.
и 
равномерного распределения по формулам: 
, 
и выборочного среднего квадратического отклонения 
примем середины 
интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:
.
. Для этого составим таблицу.
. Так как 
< 
нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
, если имеется 20 опытных данных?
