Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а =b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2. Если а >b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, так как а < 10 b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором находим частное q₁ чисел d₁, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q₁, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁.

в) Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁ = d₁ - bq₁.

г) Записываем разность r₁, под числом bq₁, приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравни­ваем полученное число d₂ с числом b.

д) Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q₂ записываем после q₁.

е) Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столы следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первоечисло d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁ то же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшей разряда числа а окажется, что d₃ < b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частном, а остаток r =

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. АЛГОРИТМЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Цель. Показать на практических примерах использование алгоритмов действий сложения, умножения, вычитания и деления над натуральными числами. Уметь обосновать каждый шаг алгоритмов при выполнении практических заданий и решении текстовых задач из курса начальной школы.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Запись числа в десятичной системе счисления

2. Алгоритм сложения

3. Алгоритм вычитания

4. Теоретические основы алгоритмов умножения и деления

5. Алгоритмы умножения и деления

Основные понятия темы

Ø Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде

х = а_n × 10 ⁿ + а _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ а₁ × 10 + а₀ = , где а_n, а _{n – 1},…, а₁, а₀ принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а _n¹ 0.

- В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.

- Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, по определенным правилам (алгоритмам), над ними действия.

- В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Ø В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀ + b₀ = 1 • 10 + с₀, где с₀ - однозначное число; записывают с₀, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.

Ø Вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

– способе записи числа в десятичной системе счисления;

– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

– таблице сложения однозначных чисел.

Ø В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления следующий:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b₀ > а₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц ис­комого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Ø Теоретической основой алгоритма умножения многозначного числа на многозначное являются:

- запись чисел в десятичной системе счисления;

- свойства сложения и умножения;

- знание таблиц сложения и умножения однозначных чисел.

Ø Общий вид алгоритма умножения числа х = на число у = :

1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение х × b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записываем произведение х × b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х × b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х × b_k.

5. Полученные k + 1 произведения складываем.

Ø Теоретической основой алгоритма деления целого неотрицательного числа на натуральное число является:

- действие деления с остатком.

Ø Алгоритмом деления уголком целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий:

1.Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2.Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, так как а < 10 b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b.

3.Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последова­тельности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором нахо­дим частное q₁ чисел d₁, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q₁, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁.

в) Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁ = d₁ - bq₁.

г) Записываем разность r₁, под числом bq₁, приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d₂ с числом b.

д) Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q₂ записываем после q₁.

е) Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁ то же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d₃ < b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остаток r = d₃.