- Докажем сначала, что ∠CAO+∠ABC=90°. Заметим, что поскольку O — центр описанной окружности, то треугольники AOB, BOC, COA равнобедренные. Обозначим их углы при основании через x, y и z соответственно. Тогда получим: 2x+2y+2z=180° (общая сумма углов), а CAO+ABC=z+(x+y)=90°. Аналогично это доказывается и для случая, когда O лежит вне треугольника (или на его стороне).
-
Итак, мы доказали, что угол CAO равен 90°-∠ABC. Заметим, что и угол BCH равен 90°-∠ABC, поэтому ∠CAO=∠BCH (или, что то же самое, ∠CAT=∠BCH). - Теперь заметим, что четырехугольник CTHA — вписанный, поскольку ∠AHC=∠ATC=90°. Значит, ∠CAT=∠CHT (или, что то же самое, ∠CAT=∠BCH).
- Объединяя всё вместе, получаем, что в треугольнике BCH равны углы BCH и CHM. Значит, CM=MH.
- Далее стандартная картина для прямоугольного ∆BCH: ∠B=90°-∠BCH=90°-∠CHM=∠MHB, поэтому BM=MH.
- Из двух последних пунктов следует, что BM=CM.
Ответ: эти длины равны.
Критерии. Доказано, что CTHA — вписанный четырехугольник — 2 балла. Решение опирается на картинку (т. е. использует расположение O только внутри или только снаружи ABC) — 5 баллов.
Факт из п.1 может быть использован без доказательства (как достаточно известный), за это баллы не снимаются.
Задача 6
(5)
A. Фокусник хочет сложить колоду из 36 карт так, чтобы у любых двух подряд идущих карт совпадало либо достоинство, либо масть. При этом начать он хочет с пиковой дамы, а закончить бубновым тузом. Как это сделать?
Решение. Вариантов очень много, найти какой-нибудь из них не составляет труда. Один из вариантов показан на рисунке.
Критерии. Ответ с явной опиской, который легко интерпретируется как верный — 5-6 баллов.
(6-8)
B. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены — разные. Смогут ли Том и Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?
Решение. Из 20 книг и 20 обложек можно составить 20·20=400 разных комплектов «книга+обложка». Стоимость любого комплекта не меньше, чем 7 евро 10 центов, так как самая дешёвая книга стоит не меньше 7 евро, а самая дешёвая обложка — не меньше 10 центов. По аналогичной причине стоимость любого комплекта не больше 11 евро.
Стоимость комплекта может принимать, таким образом, одно из 391 значения (от 7 евро 10 центов до 11 евро существует ровно 391 значение денежной суммы в европейской валюте). Поскольку 400 больше, чем 391, у каких-то двух комплектов «книга+обложка» стоимость окажется одинаковой.
Так не может случиться, что в этих двух комплектах книга будет одной и той же. (Если бы это случилось, стоимость обложки оказалась бы в двух комплектах одной и той же, иначе не получится одинаковой стоимость комплектов. Но если стоимость обложек в двух комплектах одинакова, то сами обложки одинаковы, то есть это один и тот же комплект.) Точно так же получается, что в этих комплектах обложка не может быть одной и той же.
Поскольку и книги, и обложки в этих двух комплектах разные, Том и Леопольд смогут эти комплекты приобрести.
