Принятие рациональных решений в многокритериальных задачах.

Условия рациональности принципов принятия решений. Будем считать, что результатом применения принципа принятия решений является множество решений W(X;Q) (если одно решение, то это не что иное, как одноэлементное множество). Для того чтобы принцип принятия решений W(X;Q) для детерминированных многокритериальных задач был рациональным, необходимо соблюдение следующих условий.

1. Решение должно быть допустимым и таким, чтобы сужало начальное множество альтернатив, то есть W(X;Q)Ì Х.

2. Две альтернативы с равными векторными значениями критериев или принадлежат обе к множеству решений, или обе не принадлежат этому множеству, то есть

3. В число потенциально возможных решений принадлежат лишь те, которые являются эффективными, то есть оптимальными по Парето, W(X;Q)ÌР(Х).

4. Для каждой задачи существует как минимум одно решение, то есть W(X;Q)¹Æ. Конечно, это условие выполняется для определенного, хотя и широкого класса задач.

5 Выбор альтернатив должен быть согласованным, то есть лучшие альтернативы среди множества Х остаются лучшими и для подмножества ВÌХ. Пусть (Х;Q) и (B;Q’) – две ситуации принятия решения, в этом случае выполняется , то есть если лучшие альтернативы не попадают в подмножество В, то лучшие альтернативы подмножества В в этом случае не будут лучшими решениями общей задачи. Это условие называют постулатом о независимости несвязанных альтернатив. Следствием из этой системы условий является то, что рациональный принцип принятия решений является применяем ко всем двух- и трехэлементных множеств, то есть в множестве Х существует отношение преимущества, которое зависит лишь от множества критериев качества Q, лучшие элементы которого и являются элементами множества решений W(X;Q).

Если для некоторого принципа принятия решений выполняется лишь условия 1 и 2, то он не является качественным.

Для большинства многокритериальных задач, которые рассматриваются разными авторами и для которых предложены методы принятия решений, считается, что выполняются следующие предположения, которые относятся к множествам векторных оценок.

Множество Q(X) является выпуклым и замкнутым. Существуют элементы (векторы) (где R – множество рациональных чисел, - декартово произведение) такие что , множество Q является для некоторого и определенна для всех . Эти условия ограничивают значения векторных оценок критериев и оперируют с их числовыми значениями из множества рациональных чисел.

Принципы принятия решений. Принцип Джофриона утверждает, что решение задачи определяется соотношением

где компоненты вектора определяются, как решения n однокритериальных задач оптимизации по каждой составляющей векторного критерия.

Согласно принципу Джофриона оптимальным считается решение, для которого максимально достигается цель в смысле оптимизации каждого отдельного взятого критерия. Однако для большинства задач это приводит к нарушению условия рациональности, то есть в большинстве случаев не существует допустимых решений, для которых максимум по всем критериям достигается одновременно.

Так на рисунке 4.6 для случая а) не существует допустимого решения, который был бы оптимальный в смысле принципа Джофриона, а в случае b) такое решение существует.

Принцип полного решения предложенный В.Динкельбахом, определяет решение задачи как

то есть в этом случае решением задачи считается множество Парето-оптимальных решений. Однако, поскольку постановка многокритериальной задачи принятия решений ориентированна на полное или частичное решение конфликта, полное решение тоже считается не рациональным.

Таким образом принцип Джофриона и полного решения являются определенными граничными случаями, которые обусловлены лишь видом задачи принятия решений, поэтому другие возможные принципы являются упорядоченными в этих границах, то есть для произвольного принципа принятия решений справедливо соотношение

а в случае существования решения, оптимального по Джофриону

Принцип полезности определяет оптимальное решение, исходя из допущения о существовании отношения полного порядка в множестве альтернатив, которая зависит от составляющих критериев векторного критерия оптимальности (он является рациональным, когда это отношение монотонное и непрерывное на Rⁿ).

Этот принцип ведет к соотношению

то есть оптимальным является решение, для которого значение функции полезности является максимальным.

Принцип идеального решения основывается на допущении о существовании «идеального», возможно недопустимого решения, и метрики, с помощью которой можно измерить «расстояние» от произвольно допустимого решения до идеального. Считается, что определение координат идеального решения и метрики может осуществить ЛПР. Множество оптимальных решений согласно этого принципа определяется как

где -расстояние в пространстве критериев между идеалом и произвольной альтернативой х, измеренная с помощью метрики . Оптимальным считается решение, которое находится ближе к идеальному.

Принцип анализа отдельных составляющих векторного критерия основывается на допущении о возможности ЛПР указать дополнительную информацию, необходимую для такого анализа. Этот принцип реализуется в методах приведения критериев в ограничения, методе последовательных уступок и др.