Идентифицировать закон распределения генеральной совокупности

1 Кузнецов А.А., Судаков Е.Н. Расчеты основных процессов и аппаратов переработки углеводородных газов: Справочное пособие. — М.:Химия, 1983. — 224 с., ил.

 

УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ

О Т Ч Е Т

по расчетному заданию

по курсу «Теория вероятностей»

 

Работу выполнил студент группы 2085/21:

Гаранин В.А.

“ “ декабря 2012г.

Работу принял: __________________

/фамилия, инициалы преподавателя/

______________________________

/Подпись преподавателя, дата/

 

 

Санкт–Петербург

Задание на расчетную работу

по курсу «Теория вероятности и математическая статистика»

В результате измерений получена выборка x 1, x 2,..., xn, n =201 из генеральной совокупности с неизвестным законом распределения.

1. Построить на основе выборки:

1.1. выборочную функцию распределения F (x);

1.2. гистограмму;

2. Вычисление точечных оценок по всей выборке:

2.1. первого начального момента,

2.2. второго, третьего и четвертого центральных моментов по выборочной

функции распределения,

Для оценки первого начального момента использовать среднее арифметическое, выборочную медиану, середину размаха;

2.3. коэффициентов асимметрии и эксцесса,

2.4. границ интерквантильного промежутка J p вероятностной меры P = 0,95;

2.5. характеристики по пп. 2.1-2.3 по отдельной части исходной выборки содержащей 20 значений (указанная часть выборки извлекается из произвольного места исходной выборки);

3.Интервальные оценки с доверительной вероятностью Q = 0,8:

3.1. первого начального и второго центрального моментов (вычисления

выполнить по полной выборке и по ее части, выбранной в пункте 2.4),

3.2. интерквантильного промежутка J для P = 0,95 (по всей выборке с помощью непараметрических толерантных пределов);

3.3. интерквантильного промежутка J для P=0,95 (для части выборки с помощью параметрических толерантных пределов);

Идентифицировать закон распределения генеральной совокупности

Идентифицировать методом проб, определяя параметры закона (если моменты параметрами не являются), и проверяя для каждой пробы гипотезу о соответствии предполагаемого закона распределения экспериментальным данным с помощью одного из двух критериев: Колмогорова-Смирнова, “омега-квадрат”.

Для начальной ориентировки в выборе закона использовать вид гистограммы, соотношения между моментами и полученные значения асимметрии и эксцесса.

 

 

1. Построить на основе выборки:

1.1. выборочную функцию распределения F (x);

Расчеты были произведены в инженерной системе MatLab

(код приведен в Приложении 1)

Рис.1 Выборочная функция распределения

1.2 гистограмму распределения;

Рис.2 Гистограмма распределения

2. Вычисление точечных оценок по всей выборке:

2.1. первого начального момента,

Первый начальный момент (математическое ожидание) вычисляется через среднее арифметическое по формуле:

, где n – количество элементов в выборке, в нашем случае 201,

и равняется -2,0620.

Через выборочную медиану:

Через середину размаха:

2.2. второго, третьего и четвертого центральных моментов по выборочной

функции распределения,

Второй, третий и четвертый центральные моменты считаются по формулам:

, где - среднее арифметическое

2.3. коэффициентов асимметрии и эксцесса, которые рассчитываются по формулам:

= - 0,0471, либо с помощью функции MatLab – Skewness(значения получились одинаковыми)

= 3,0356, либо с помощью функции MatLab – Kurtosis(значения получились одинаковыми)

 

2.4. границ интерквантильного промежутка J p вероятностной меры P = 0,95;

Границы рассчитываются следующим образом:

- P - ; ; следуя из этого, если посмотреть на

выборочную функцию распределения и провести линии на уровне 0,025 и 0,975 можно увидеть, что для нахождения границ интерквантильного промежутка мы имеем право откинуть по одному значению с краев выборки

Рис.3 Определение верхней границы

интерквантильного промежутка

Рис.4 Определение нижней границы интерквантильного промежутка

Значит интерквантильный промежуток Jp=[ -3,2315; -1,1173]

2.5. характеристики по пп. 2.1-2.3 по отдельной части исходной выборки содержащей 20 значений (указанная часть выборки извлекается из начала исходной выборки);

Все оценки для этого пункта вычисляются по тем же формулам, что и в пунктах 2.1-2.3, с тем лишь изменением, что значений будет не 201, а 20, следовательно:

=-1,8692, где, для этого пункта, n = 20, x_i – значения выборки из 20 значений от исходной выборки.

= -0.1627

= 2.4683

 

 

3. Вычислить интервальные оценки с доверительной вероятностью Q = 0,8:

3.1. первого начального и второго центрального моментов (вычисления

выполнить по полной выборке и по ее части, выбранной в пункте 2.4),

Интервальная оценка математического ожидания вычисляется по формуле:

, где k – это *100%-ая квантиль Стьюдента с (n-1) степенями свободы, и вычисляется в MatLab: = 1,2858, а - эффективная оценка среднеквадратичного отклонения (с.к.о), и вычисляется по формуле: = 0.5219.

Интервальная оценка математического ожидания равна: [-2.0654; -2.0587]

Вычисления по части выборки производятся по аналогичным формулам и для 20 значений интервальная оценка математического ожидания равна:

[-1,9025; -1.8358]

 

Интервальная оценка для дисперсии вычисляется по формулам:

, где - эффективная оценка дисперсии и равна:

= 0,2723, а k1 и k2 соответственно ая и ая квантили распределения хи-квадрат и вычисляются в MatLab по формулам:

= 226,0210

= 174,8353

Интервальная оценка для дисперсии равна: [0,2410; 0,3115].

Вычисления по части выборки производятся по аналогичным формулам и для 20 значений интервальная оценка дисперсии равна: [0,1760; 0,4110].

3.2. интерквантильного промежутка J для P = 0,95 (по всей выборке с помощью непараметрических толерантных пределов, симметричных относительно среднего арифметического);

Согласно таблице "Минимально необходимый объем выборки

для нахождения непараметрических толерантных пределов,

накрывающих с доверительной вероятностью Q интерквантильный промежуток вероятностной меры 0,8, K=3 следовательно непараметрическими толерантными пределами мы имеем право взять 2 и n-2 значения вариационного ряда. Таким образом, непараметрические толерантные пределы будут: [-3.3845,-0.9100]

3.3. Интерквантильного промежутка J для P=0,95 (для части выборки с помощью параметрических толерантных пределов);

Параметрические толерантные пределы находятся по формулам:

, где k = 2.3637 - параметрический толерантный множитель, взятый из таблицы значений параметрических толерантных множителей для оценки границ 95%-го интерквантильного промежутка нормального распределения с доверительной вероятностью Q по выборке из n=20 значений.

В нашем случае параметрические толерантные пределы будут:

[-3.0558,-0.6824]