Умножение вектора на число

Произведение вектора a на число λ — это коллинеарный ему вектор λa, со направленный с вектором a, если λ > 0, и направленный противоположно к нему, если λ < 0. Если λ = 0,то λa = 0.

Модуль вектора λa: |λa| = |λ| |a|.

Скалярным произведением векторов a(a₁;a₂;a₃) и b(b₁;b₂;b₃) в пространстве называется число a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃:

1) a × a = a² = |a|²;

2) a × b = |a| × |b| cosφ;

3) a ⊥ b ⇔ a × b × 0 — условие перпендикулярности двух векторов.

cosφ =

0° ≤ φ < 90° a × b > 0	φ = 90° a × b = 0	90° < φ ≤ 180° a × b < 0

1) гой ответ.

№4. Даны точки А(2;7;-3) и В (1;-2;1).Разложите вектор по координатным векторам:

1) = ; 2) = ; 3) = ;

4) = ; 5) = .

№5. Даны точки А(3;-2;4),В(4;-1;2),С(6;-3;2),Д(7;-3;1).Найдите угол между векторами АВ и СД

1) 150°; 2) 30°; 3) 45°; 4) 60°; 5) 120°.

№6. Зная, что

1) 12; 2) 18; 3) 20; 4) 25; 5) 30.

№7. В параллелограмме АВСД заданы А(-5;2;8), -2;4;6). Сумма координат точки Д равна Единичные векторы — это векторы, модули которых — единицы.

Координатные векторы (орты) направлены вдоль осей координат. Модули этих векторов равны 1.

e₁(1;0;0), e₂(0;1;0), e₃(0;0;1).

Произвольный вектор a можно разложить единственным способом по координатным векторам.

a(a₁;a₂;a₃) = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃.

Коэффициенты разложения a_i являются проекциями вектора a на оси координат.

Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам

Компланарными называются векторы, параллельные одной и той же плоскости.

m — произвольный вектор пространства, a, b и c — некомпланарные (то есть непараллельные одной плоскости) векторы.

Всегда существует разложение: m = αa + βb + γc(α, β и γ — единственные)