системы счисления с заданной точностью

Лекция №1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Перевод дробной части числа представленного в десятичной с/с в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления выполняется путём умножения дробной части исходного числа на основание новой с/с. Так как процесс последовательного умножения может продолжаться до бесконечности, то перевод выполняется либо до получения требуемого количества разрядов в дробной части числа в новой с/с или до достижения заданной точности. При этом необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Умножить дробную часть исходного числа на основание новой с/с. Целая часть полученного произведения даёт первую цифру дробной части числа в новой с/с.

2. Дробную часть полученного произведения умножить на основание новой с/с. Целая часть полученного произведения даёт следующую цифру дробной части числа в новой с/с.

3. Если достигнута заданная точность или получено требуемое количество цифр в дробной части числа в новой с/с то перейти к п. 4, иначе повторить п. 2.

4. Полученные в результате умножения целые части произведений, записать в порядке их вычисления. Это и будет дробная часть исходного числа в новой с/с.

Пример. Выполнить перевод дробной части десятичного числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную с/с, используя в качестве критерия, необходимость получить 3 цифры в дробной части числа в новой с/с.

0,74₁₀ ® (?)₂ 0,23₁₀ ® (?)₈ 0,12₁₀ ® (?)₁₆

0,74 0,23 0,12

2816

1, 48 1, 84 1, 92

2816

0, 96 6, 72 14, 72

2816

1, 92 5, 76 11, 52

0,74₁₀ ® 0,101₂ 0,23₁₀ ® 0,165₈ 0,12₁₀ ® 0,1EB₁₆

Переведем полученные значения обратно в десятичную систему счисления и определим D_А погрешность данного способа перевода.

0,101₂ ® 0⁰, 1^-1 0^-2 1^-3 = 0×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 = 0,625₁₀

Погрешность для двоичной с/с составит

D₂ = 0,74 – 0,625 = 0,115.

 

0,165₈ ® 0⁰, 1^-1 6^-2 5^-3 = 0×8⁰ + 1×8^-1 + 6×8^-2 + 5×8^-3» 0,229₁₀

Погрешность для восьмеричной с/с составит

D₈ = 0,23 – 0,229 = 0,001.

 

0,1ЕВ₁₆ ® 0⁰, 1^-1 Е^-2 В^-3 = 0×16⁰ + 1×16^-1 + 14×16^-2 + 11×16^-3» 0,1199₁₀

Погрешность для шестнадцатеричной с/с составит

D₁₆=0,12–0,1199=0,0001.

 

Как известно, точность, с которой задано число, определяется количеством цифр в его дробной части. Для десятичной с/с точность представления числа определяется следующим образом:

(0, b_-1 b_-2 … b_-k)₁₀ ® b_-1×10^-1 + b_-2×10^-2 +…+ b_-k×10^-k

Отсюда точность:

которую даёт цифра с весовым коэффициентом -1 равна 10^-1 = 0.1;

которую даёт цифра с весовым коэффициентом -2 равна 10^-2 = 0.01;

которую даёт цифра с весовым коэффициентом -k равна 10^-k.

 

В общем случае, точность, с которой задается число, в любой позиционной системе счисления определяется из выражения

, (4)

где А – основание системы счисления;

R – количество цифр в дробной части числа.

Точность перевода задается в десятичной системе счисления (t₁₀). Для выполнения перевода с заданной точностью необходимо получить такое количество цифр в дробной части числа в новой системе счисления А, чтобы t₁₀ > t_A.

Пример. Выполнить перевод 0,74₁₀ ® (?)₂ с точностью t = 0,01.

0,74 0,74₁₀ ® 0,1^-1 0^-2 1^-3 1^-4 1^-5 1^-6 0^-7 = 0,1011110₂

2

1, 48 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-1 = 0,5 > t = 0,01;

2

0, 96 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-2 = 0,25 > t = 0,01;

2

1, 92 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-3 = 0,125 > t = 0,01;

2

1, 84 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-4 = 0,0625 > t = 0,01;

2

1, 68 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-5 = 0,03125 > t = 0,01;

2

1, 36 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-6» 0,01563 > t = 0,01;

2

0, 72 точность, которую даёт эта цифра t₂ = 2^-7» 0,00781 < t = 0,01;

 

Полученная точность представления числа в двоичной с/с t₂ меньше заданной точности t₁₀, следовательно, процесс перевода можно завершить. Определим погрешность перевода, предварительно выполнив обратный перевод:

0,1011110₂ ® 0⁰, 1^-1 0^-2 1^-3 1^-4 1^-5 1^-6 0^-7 =

= 0×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 + 1×2^-4 + 1×2^-5 + 1×2^-6 + 0×2^-7» 0,734₁₀

Погрешность составила D₂ = 0,74 – 0,734 = 0,006 и не превышает t₁₀.

Пример. Выполнить перевод 0,23₁₀ ® (?)₈ с точностью t = 0,001.

0,23 0,23₁₀ ® 0,1^-1 6^-2 5^-3 6^-4 = 0,1656₈

8

1, 84 точность, которую даёт эта цифра t₈ = 8^-1 = 0,125 > t = 0,001;

8

6, 72 точность, которую даёт эта цифра t₈ = 8^-2 = 0,0156 > t = 0,001;

8

5, 76 точность, которую даёт эта цифра t₈ = 8^-3» 0,00195 > t = 0,001;

8

6, 08 точность, которую даёт эта цифра t₈ = 8^-4» 0,00024 < t = 0,001;

 

Полученная точность представления числа в восьмеричной с/с t₈ меньше заданной точности t₁₀, следовательно, процесс перевода можно завершить. Определим погрешность перевода, предварительно выполнив обратный перевод:

0,1656₈ ® 0⁰, 1^-1 6^-2 5^-3 6^-4 = 0×8⁰ + 1×8^-1 + 6×8^-2 + 5×8^-3 + 6×8^-4» 0,22998₁₀

Погрешность составила D₈ = 0,23 – 0,22998 = 0,00002 и не превышает t₁₀.

Перевод десятичного числа, содержащего целую и дробную части, в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, происходит в два этапа. Вначале переводится целая часть, а затем дробная часть числа.