Определение погрешностей при косвенных измерениях

В тех случаях когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям. Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x, y, z, связаные функциональной зависимостью .

В этом случае средняя абсолютная ошибка может быть найдена по правилам дифференцирования, если значок дифференциала d заменить значком ошибки и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, т.е.

 

и

 

 

Пример 1. Объем цилиндра

 

, т.е.

В этом случае

Абсолютная ошибка

= 2 R H +

 

Пример 2. Ускорение свободного падения g вычисляется по формуле

 

т.е.

;

 

.

(в частном случае когда формула принимает вид:

 

т. е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции).

 

Относительная погрешность находится по формуле:

 

,

а так как дифференциал натурального логарифма

 

то

 

или

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой значков d значком

 

Определение погрешностей для косвенных измерений удобно проводить по следующим этапам:

 

вычисляем относительную ошибку измерения

 

,

для этого следует:

а) прологарифмировать расчетную формулу;

б) найти от логарифма полный дифференциал;

в) сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю;

г) заменить все дифференциалы d независимых переменных абсолютными ошибками измерений , а все минусы перед дифференциалами заменить плюсами, так как все частные ошибки складываются.

Необходимо помнить, что точность результата определяется точностью измерительных приборов и тщательностью исходных измерений и не может быть повышена путем искусственного набирания знаков при производстве арифметических действий.