Нормальный закон распределения случайных величин

Существуют различные законы распределения случайных величин. Для непрерывных величин наиболее распространенным является так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса. В соответствии с этим законом распределяются масса тела, рост человека, физиологические показатели и многое другое. В ряде случаев этот закон применим для анализа распределений дискретных случайных величин.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения случайных величин имеет следующий вид:

, (9)

где – основание натурального логарифма, – математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение случайной величины .

График этой зависимости называется кривой нормального закона распределения или кривой Гаусса (рис.1). Кривая имеет колоколообразную форму, она симметрична и асимптотически приближается к нулю. Из рисунка видно, что наиболее вероятным значением случайной величины является математическое ожидание . При отклонении величины в большую или меньшую сторону вероятность ее уменьшается.

Рис. 1

На кривой имеются две характерные точки, где выпуклость ее переходит в вогнутость. Абсциссы этих точек равны и .

 

Таблица 1

Интервал	Р,%
				68,3
				95,0
				95,5
				99,0
				99,7
Здесь через обозначено .

Зная функцию плотностей вероятностей, можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений . Например, вероятность попадания в интервал между значениями и равна:

,

или, графически, вероятность попадания оказывается равной площади криволинейной трапеции, заштрихованной на графике, приведенном на рис.1 в.

Рассчитано (табл.1), что вероятность появления случайной величины в интервале составляет 0,68, в интервале – примерно 0,95, а в интервале вероятность появления случайной величины составляет 0,997.